3,141 592 653 589 793 238 462 643 423 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 3,141 592 653 589 793 238 462 643 423(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
3,141 592 653 589 793 238 462 643 423(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 3.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

3(10) =

11(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,141 592 653 589 793 238 462 643 423.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,141 592 653 589 793 238 462 643 423 × 2 = 0 + 0,283 185 307 179 586 476 925 286 846;
  • 2) 0,283 185 307 179 586 476 925 286 846 × 2 = 0 + 0,566 370 614 359 172 953 850 573 692;
  • 3) 0,566 370 614 359 172 953 850 573 692 × 2 = 1 + 0,132 741 228 718 345 907 701 147 384;
  • 4) 0,132 741 228 718 345 907 701 147 384 × 2 = 0 + 0,265 482 457 436 691 815 402 294 768;
  • 5) 0,265 482 457 436 691 815 402 294 768 × 2 = 0 + 0,530 964 914 873 383 630 804 589 536;
  • 6) 0,530 964 914 873 383 630 804 589 536 × 2 = 1 + 0,061 929 829 746 767 261 609 179 072;
  • 7) 0,061 929 829 746 767 261 609 179 072 × 2 = 0 + 0,123 859 659 493 534 523 218 358 144;
  • 8) 0,123 859 659 493 534 523 218 358 144 × 2 = 0 + 0,247 719 318 987 069 046 436 716 288;
  • 9) 0,247 719 318 987 069 046 436 716 288 × 2 = 0 + 0,495 438 637 974 138 092 873 432 576;
  • 10) 0,495 438 637 974 138 092 873 432 576 × 2 = 0 + 0,990 877 275 948 276 185 746 865 152;
  • 11) 0,990 877 275 948 276 185 746 865 152 × 2 = 1 + 0,981 754 551 896 552 371 493 730 304;
  • 12) 0,981 754 551 896 552 371 493 730 304 × 2 = 1 + 0,963 509 103 793 104 742 987 460 608;
  • 13) 0,963 509 103 793 104 742 987 460 608 × 2 = 1 + 0,927 018 207 586 209 485 974 921 216;
  • 14) 0,927 018 207 586 209 485 974 921 216 × 2 = 1 + 0,854 036 415 172 418 971 949 842 432;
  • 15) 0,854 036 415 172 418 971 949 842 432 × 2 = 1 + 0,708 072 830 344 837 943 899 684 864;
  • 16) 0,708 072 830 344 837 943 899 684 864 × 2 = 1 + 0,416 145 660 689 675 887 799 369 728;
  • 17) 0,416 145 660 689 675 887 799 369 728 × 2 = 0 + 0,832 291 321 379 351 775 598 739 456;
  • 18) 0,832 291 321 379 351 775 598 739 456 × 2 = 1 + 0,664 582 642 758 703 551 197 478 912;
  • 19) 0,664 582 642 758 703 551 197 478 912 × 2 = 1 + 0,329 165 285 517 407 102 394 957 824;
  • 20) 0,329 165 285 517 407 102 394 957 824 × 2 = 0 + 0,658 330 571 034 814 204 789 915 648;
  • 21) 0,658 330 571 034 814 204 789 915 648 × 2 = 1 + 0,316 661 142 069 628 409 579 831 296;
  • 22) 0,316 661 142 069 628 409 579 831 296 × 2 = 0 + 0,633 322 284 139 256 819 159 662 592;
  • 23) 0,633 322 284 139 256 819 159 662 592 × 2 = 1 + 0,266 644 568 278 513 638 319 325 184;
  • 24) 0,266 644 568 278 513 638 319 325 184 × 2 = 0 + 0,533 289 136 557 027 276 638 650 368;
  • 25) 0,533 289 136 557 027 276 638 650 368 × 2 = 1 + 0,066 578 273 114 054 553 277 300 736;
  • 26) 0,066 578 273 114 054 553 277 300 736 × 2 = 0 + 0,133 156 546 228 109 106 554 601 472;
  • 27) 0,133 156 546 228 109 106 554 601 472 × 2 = 0 + 0,266 313 092 456 218 213 109 202 944;
  • 28) 0,266 313 092 456 218 213 109 202 944 × 2 = 0 + 0,532 626 184 912 436 426 218 405 888;
  • 29) 0,532 626 184 912 436 426 218 405 888 × 2 = 1 + 0,065 252 369 824 872 852 436 811 776;
  • 30) 0,065 252 369 824 872 852 436 811 776 × 2 = 0 + 0,130 504 739 649 745 704 873 623 552;
  • 31) 0,130 504 739 649 745 704 873 623 552 × 2 = 0 + 0,261 009 479 299 491 409 747 247 104;
  • 32) 0,261 009 479 299 491 409 747 247 104 × 2 = 0 + 0,522 018 958 598 982 819 494 494 208;
  • 33) 0,522 018 958 598 982 819 494 494 208 × 2 = 1 + 0,044 037 917 197 965 638 988 988 416;
  • 34) 0,044 037 917 197 965 638 988 988 416 × 2 = 0 + 0,088 075 834 395 931 277 977 976 832;
  • 35) 0,088 075 834 395 931 277 977 976 832 × 2 = 0 + 0,176 151 668 791 862 555 955 953 664;
  • 36) 0,176 151 668 791 862 555 955 953 664 × 2 = 0 + 0,352 303 337 583 725 111 911 907 328;
  • 37) 0,352 303 337 583 725 111 911 907 328 × 2 = 0 + 0,704 606 675 167 450 223 823 814 656;
  • 38) 0,704 606 675 167 450 223 823 814 656 × 2 = 1 + 0,409 213 350 334 900 447 647 629 312;
  • 39) 0,409 213 350 334 900 447 647 629 312 × 2 = 0 + 0,818 426 700 669 800 895 295 258 624;
  • 40) 0,818 426 700 669 800 895 295 258 624 × 2 = 1 + 0,636 853 401 339 601 790 590 517 248;
  • 41) 0,636 853 401 339 601 790 590 517 248 × 2 = 1 + 0,273 706 802 679 203 581 181 034 496;
  • 42) 0,273 706 802 679 203 581 181 034 496 × 2 = 0 + 0,547 413 605 358 407 162 362 068 992;
  • 43) 0,547 413 605 358 407 162 362 068 992 × 2 = 1 + 0,094 827 210 716 814 324 724 137 984;
  • 44) 0,094 827 210 716 814 324 724 137 984 × 2 = 0 + 0,189 654 421 433 628 649 448 275 968;
  • 45) 0,189 654 421 433 628 649 448 275 968 × 2 = 0 + 0,379 308 842 867 257 298 896 551 936;
  • 46) 0,379 308 842 867 257 298 896 551 936 × 2 = 0 + 0,758 617 685 734 514 597 793 103 872;
  • 47) 0,758 617 685 734 514 597 793 103 872 × 2 = 1 + 0,517 235 371 469 029 195 586 207 744;
  • 48) 0,517 235 371 469 029 195 586 207 744 × 2 = 1 + 0,034 470 742 938 058 391 172 415 488;
  • 49) 0,034 470 742 938 058 391 172 415 488 × 2 = 0 + 0,068 941 485 876 116 782 344 830 976;
  • 50) 0,068 941 485 876 116 782 344 830 976 × 2 = 0 + 0,137 882 971 752 233 564 689 661 952;
  • 51) 0,137 882 971 752 233 564 689 661 952 × 2 = 0 + 0,275 765 943 504 467 129 379 323 904;
  • 52) 0,275 765 943 504 467 129 379 323 904 × 2 = 0 + 0,551 531 887 008 934 258 758 647 808;
  • 53) 0,551 531 887 008 934 258 758 647 808 × 2 = 1 + 0,103 063 774 017 868 517 517 295 616;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,141 592 653 589 793 238 462 643 423(10) =

0,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

3,141 592 653 589 793 238 462 643 423(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


3,141 592 653 589 793 238 462 643 423(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 1(2) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 1(2) × 20 =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 01(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 01


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 01 =

1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000


Numărul zecimal 3,141 592 653 589 793 238 462 643 423 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000

Distribuie

» Scriere 3,141 592 653 589 793 238 462 643 479 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100