3,141 592 653 689 742 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 3,141 592 653 689 742(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
3,141 592 653 689 742(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 3.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

3(10) =

11(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,141 592 653 689 742.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,141 592 653 689 742 × 2 = 0 + 0,283 185 307 379 484;
  • 2) 0,283 185 307 379 484 × 2 = 0 + 0,566 370 614 758 968;
  • 3) 0,566 370 614 758 968 × 2 = 1 + 0,132 741 229 517 936;
  • 4) 0,132 741 229 517 936 × 2 = 0 + 0,265 482 459 035 872;
  • 5) 0,265 482 459 035 872 × 2 = 0 + 0,530 964 918 071 744;
  • 6) 0,530 964 918 071 744 × 2 = 1 + 0,061 929 836 143 488;
  • 7) 0,061 929 836 143 488 × 2 = 0 + 0,123 859 672 286 976;
  • 8) 0,123 859 672 286 976 × 2 = 0 + 0,247 719 344 573 952;
  • 9) 0,247 719 344 573 952 × 2 = 0 + 0,495 438 689 147 904;
  • 10) 0,495 438 689 147 904 × 2 = 0 + 0,990 877 378 295 808;
  • 11) 0,990 877 378 295 808 × 2 = 1 + 0,981 754 756 591 616;
  • 12) 0,981 754 756 591 616 × 2 = 1 + 0,963 509 513 183 232;
  • 13) 0,963 509 513 183 232 × 2 = 1 + 0,927 019 026 366 464;
  • 14) 0,927 019 026 366 464 × 2 = 1 + 0,854 038 052 732 928;
  • 15) 0,854 038 052 732 928 × 2 = 1 + 0,708 076 105 465 856;
  • 16) 0,708 076 105 465 856 × 2 = 1 + 0,416 152 210 931 712;
  • 17) 0,416 152 210 931 712 × 2 = 0 + 0,832 304 421 863 424;
  • 18) 0,832 304 421 863 424 × 2 = 1 + 0,664 608 843 726 848;
  • 19) 0,664 608 843 726 848 × 2 = 1 + 0,329 217 687 453 696;
  • 20) 0,329 217 687 453 696 × 2 = 0 + 0,658 435 374 907 392;
  • 21) 0,658 435 374 907 392 × 2 = 1 + 0,316 870 749 814 784;
  • 22) 0,316 870 749 814 784 × 2 = 0 + 0,633 741 499 629 568;
  • 23) 0,633 741 499 629 568 × 2 = 1 + 0,267 482 999 259 136;
  • 24) 0,267 482 999 259 136 × 2 = 0 + 0,534 965 998 518 272;
  • 25) 0,534 965 998 518 272 × 2 = 1 + 0,069 931 997 036 544;
  • 26) 0,069 931 997 036 544 × 2 = 0 + 0,139 863 994 073 088;
  • 27) 0,139 863 994 073 088 × 2 = 0 + 0,279 727 988 146 176;
  • 28) 0,279 727 988 146 176 × 2 = 0 + 0,559 455 976 292 352;
  • 29) 0,559 455 976 292 352 × 2 = 1 + 0,118 911 952 584 704;
  • 30) 0,118 911 952 584 704 × 2 = 0 + 0,237 823 905 169 408;
  • 31) 0,237 823 905 169 408 × 2 = 0 + 0,475 647 810 338 816;
  • 32) 0,475 647 810 338 816 × 2 = 0 + 0,951 295 620 677 632;
  • 33) 0,951 295 620 677 632 × 2 = 1 + 0,902 591 241 355 264;
  • 34) 0,902 591 241 355 264 × 2 = 1 + 0,805 182 482 710 528;
  • 35) 0,805 182 482 710 528 × 2 = 1 + 0,610 364 965 421 056;
  • 36) 0,610 364 965 421 056 × 2 = 1 + 0,220 729 930 842 112;
  • 37) 0,220 729 930 842 112 × 2 = 0 + 0,441 459 861 684 224;
  • 38) 0,441 459 861 684 224 × 2 = 0 + 0,882 919 723 368 448;
  • 39) 0,882 919 723 368 448 × 2 = 1 + 0,765 839 446 736 896;
  • 40) 0,765 839 446 736 896 × 2 = 1 + 0,531 678 893 473 792;
  • 41) 0,531 678 893 473 792 × 2 = 1 + 0,063 357 786 947 584;
  • 42) 0,063 357 786 947 584 × 2 = 0 + 0,126 715 573 895 168;
  • 43) 0,126 715 573 895 168 × 2 = 0 + 0,253 431 147 790 336;
  • 44) 0,253 431 147 790 336 × 2 = 0 + 0,506 862 295 580 672;
  • 45) 0,506 862 295 580 672 × 2 = 1 + 0,013 724 591 161 344;
  • 46) 0,013 724 591 161 344 × 2 = 0 + 0,027 449 182 322 688;
  • 47) 0,027 449 182 322 688 × 2 = 0 + 0,054 898 364 645 376;
  • 48) 0,054 898 364 645 376 × 2 = 0 + 0,109 796 729 290 752;
  • 49) 0,109 796 729 290 752 × 2 = 0 + 0,219 593 458 581 504;
  • 50) 0,219 593 458 581 504 × 2 = 0 + 0,439 186 917 163 008;
  • 51) 0,439 186 917 163 008 × 2 = 0 + 0,878 373 834 326 016;
  • 52) 0,878 373 834 326 016 × 2 = 1 + 0,756 747 668 652 032;
  • 53) 0,756 747 668 652 032 × 2 = 1 + 0,513 495 337 304 064;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,141 592 653 689 742(10) =

0,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1111 0011 1000 1000 0001 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

3,141 592 653 689 742(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1111 0011 1000 1000 0001 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


3,141 592 653 689 742(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1111 0011 1000 1000 0001 1(2) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1111 0011 1000 1000 0001 1(2) × 20 =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0111 1001 1100 0100 0000 11(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0111 1001 1100 0100 0000 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0111 1001 1100 0100 0000 11 =

1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0111 1001 1100 0100 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0111 1001 1100 0100 0000


Numărul zecimal 3,141 592 653 689 742 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0111 1001 1100 0100 0000

» Scriere 3,141 592 653 689 783 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100