3,141 592 653 689 793 236 83 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 3,141 592 653 689 793 236 83(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
3,141 592 653 689 793 236 83(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 3.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

3(10) =

11(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,141 592 653 689 793 236 83.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,141 592 653 689 793 236 83 × 2 = 0 + 0,283 185 307 379 586 473 66;
  • 2) 0,283 185 307 379 586 473 66 × 2 = 0 + 0,566 370 614 759 172 947 32;
  • 3) 0,566 370 614 759 172 947 32 × 2 = 1 + 0,132 741 229 518 345 894 64;
  • 4) 0,132 741 229 518 345 894 64 × 2 = 0 + 0,265 482 459 036 691 789 28;
  • 5) 0,265 482 459 036 691 789 28 × 2 = 0 + 0,530 964 918 073 383 578 56;
  • 6) 0,530 964 918 073 383 578 56 × 2 = 1 + 0,061 929 836 146 767 157 12;
  • 7) 0,061 929 836 146 767 157 12 × 2 = 0 + 0,123 859 672 293 534 314 24;
  • 8) 0,123 859 672 293 534 314 24 × 2 = 0 + 0,247 719 344 587 068 628 48;
  • 9) 0,247 719 344 587 068 628 48 × 2 = 0 + 0,495 438 689 174 137 256 96;
  • 10) 0,495 438 689 174 137 256 96 × 2 = 0 + 0,990 877 378 348 274 513 92;
  • 11) 0,990 877 378 348 274 513 92 × 2 = 1 + 0,981 754 756 696 549 027 84;
  • 12) 0,981 754 756 696 549 027 84 × 2 = 1 + 0,963 509 513 393 098 055 68;
  • 13) 0,963 509 513 393 098 055 68 × 2 = 1 + 0,927 019 026 786 196 111 36;
  • 14) 0,927 019 026 786 196 111 36 × 2 = 1 + 0,854 038 053 572 392 222 72;
  • 15) 0,854 038 053 572 392 222 72 × 2 = 1 + 0,708 076 107 144 784 445 44;
  • 16) 0,708 076 107 144 784 445 44 × 2 = 1 + 0,416 152 214 289 568 890 88;
  • 17) 0,416 152 214 289 568 890 88 × 2 = 0 + 0,832 304 428 579 137 781 76;
  • 18) 0,832 304 428 579 137 781 76 × 2 = 1 + 0,664 608 857 158 275 563 52;
  • 19) 0,664 608 857 158 275 563 52 × 2 = 1 + 0,329 217 714 316 551 127 04;
  • 20) 0,329 217 714 316 551 127 04 × 2 = 0 + 0,658 435 428 633 102 254 08;
  • 21) 0,658 435 428 633 102 254 08 × 2 = 1 + 0,316 870 857 266 204 508 16;
  • 22) 0,316 870 857 266 204 508 16 × 2 = 0 + 0,633 741 714 532 409 016 32;
  • 23) 0,633 741 714 532 409 016 32 × 2 = 1 + 0,267 483 429 064 818 032 64;
  • 24) 0,267 483 429 064 818 032 64 × 2 = 0 + 0,534 966 858 129 636 065 28;
  • 25) 0,534 966 858 129 636 065 28 × 2 = 1 + 0,069 933 716 259 272 130 56;
  • 26) 0,069 933 716 259 272 130 56 × 2 = 0 + 0,139 867 432 518 544 261 12;
  • 27) 0,139 867 432 518 544 261 12 × 2 = 0 + 0,279 734 865 037 088 522 24;
  • 28) 0,279 734 865 037 088 522 24 × 2 = 0 + 0,559 469 730 074 177 044 48;
  • 29) 0,559 469 730 074 177 044 48 × 2 = 1 + 0,118 939 460 148 354 088 96;
  • 30) 0,118 939 460 148 354 088 96 × 2 = 0 + 0,237 878 920 296 708 177 92;
  • 31) 0,237 878 920 296 708 177 92 × 2 = 0 + 0,475 757 840 593 416 355 84;
  • 32) 0,475 757 840 593 416 355 84 × 2 = 0 + 0,951 515 681 186 832 711 68;
  • 33) 0,951 515 681 186 832 711 68 × 2 = 1 + 0,903 031 362 373 665 423 36;
  • 34) 0,903 031 362 373 665 423 36 × 2 = 1 + 0,806 062 724 747 330 846 72;
  • 35) 0,806 062 724 747 330 846 72 × 2 = 1 + 0,612 125 449 494 661 693 44;
  • 36) 0,612 125 449 494 661 693 44 × 2 = 1 + 0,224 250 898 989 323 386 88;
  • 37) 0,224 250 898 989 323 386 88 × 2 = 0 + 0,448 501 797 978 646 773 76;
  • 38) 0,448 501 797 978 646 773 76 × 2 = 0 + 0,897 003 595 957 293 547 52;
  • 39) 0,897 003 595 957 293 547 52 × 2 = 1 + 0,794 007 191 914 587 095 04;
  • 40) 0,794 007 191 914 587 095 04 × 2 = 1 + 0,588 014 383 829 174 190 08;
  • 41) 0,588 014 383 829 174 190 08 × 2 = 1 + 0,176 028 767 658 348 380 16;
  • 42) 0,176 028 767 658 348 380 16 × 2 = 0 + 0,352 057 535 316 696 760 32;
  • 43) 0,352 057 535 316 696 760 32 × 2 = 0 + 0,704 115 070 633 393 520 64;
  • 44) 0,704 115 070 633 393 520 64 × 2 = 1 + 0,408 230 141 266 787 041 28;
  • 45) 0,408 230 141 266 787 041 28 × 2 = 0 + 0,816 460 282 533 574 082 56;
  • 46) 0,816 460 282 533 574 082 56 × 2 = 1 + 0,632 920 565 067 148 165 12;
  • 47) 0,632 920 565 067 148 165 12 × 2 = 1 + 0,265 841 130 134 296 330 24;
  • 48) 0,265 841 130 134 296 330 24 × 2 = 0 + 0,531 682 260 268 592 660 48;
  • 49) 0,531 682 260 268 592 660 48 × 2 = 1 + 0,063 364 520 537 185 320 96;
  • 50) 0,063 364 520 537 185 320 96 × 2 = 0 + 0,126 729 041 074 370 641 92;
  • 51) 0,126 729 041 074 370 641 92 × 2 = 0 + 0,253 458 082 148 741 283 84;
  • 52) 0,253 458 082 148 741 283 84 × 2 = 0 + 0,506 916 164 297 482 567 68;
  • 53) 0,506 916 164 297 482 567 68 × 2 = 1 + 0,013 832 328 594 965 135 36;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,141 592 653 689 793 236 83(10) =

0,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1111 0011 1001 0110 1000 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

3,141 592 653 689 793 236 83(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1111 0011 1001 0110 1000 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


3,141 592 653 689 793 236 83(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1111 0011 1001 0110 1000 1(2) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1111 0011 1001 0110 1000 1(2) × 20 =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0111 1001 1100 1011 0100 01(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0111 1001 1100 1011 0100 01


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0111 1001 1100 1011 0100 01 =

1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0111 1001 1100 1011 0100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0111 1001 1100 1011 0100


Numărul zecimal 3,141 592 653 689 793 236 83 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0111 1001 1100 1011 0100

Distribuie

» Scriere 3,141 592 653 689 793 236 15 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100