3,141 592 653 689 793 237 65 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 3,141 592 653 689 793 237 65(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
3,141 592 653 689 793 237 65(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 3.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

3(10) =

11(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,141 592 653 689 793 237 65.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,141 592 653 689 793 237 65 × 2 = 0 + 0,283 185 307 379 586 475 3;
  • 2) 0,283 185 307 379 586 475 3 × 2 = 0 + 0,566 370 614 759 172 950 6;
  • 3) 0,566 370 614 759 172 950 6 × 2 = 1 + 0,132 741 229 518 345 901 2;
  • 4) 0,132 741 229 518 345 901 2 × 2 = 0 + 0,265 482 459 036 691 802 4;
  • 5) 0,265 482 459 036 691 802 4 × 2 = 0 + 0,530 964 918 073 383 604 8;
  • 6) 0,530 964 918 073 383 604 8 × 2 = 1 + 0,061 929 836 146 767 209 6;
  • 7) 0,061 929 836 146 767 209 6 × 2 = 0 + 0,123 859 672 293 534 419 2;
  • 8) 0,123 859 672 293 534 419 2 × 2 = 0 + 0,247 719 344 587 068 838 4;
  • 9) 0,247 719 344 587 068 838 4 × 2 = 0 + 0,495 438 689 174 137 676 8;
  • 10) 0,495 438 689 174 137 676 8 × 2 = 0 + 0,990 877 378 348 275 353 6;
  • 11) 0,990 877 378 348 275 353 6 × 2 = 1 + 0,981 754 756 696 550 707 2;
  • 12) 0,981 754 756 696 550 707 2 × 2 = 1 + 0,963 509 513 393 101 414 4;
  • 13) 0,963 509 513 393 101 414 4 × 2 = 1 + 0,927 019 026 786 202 828 8;
  • 14) 0,927 019 026 786 202 828 8 × 2 = 1 + 0,854 038 053 572 405 657 6;
  • 15) 0,854 038 053 572 405 657 6 × 2 = 1 + 0,708 076 107 144 811 315 2;
  • 16) 0,708 076 107 144 811 315 2 × 2 = 1 + 0,416 152 214 289 622 630 4;
  • 17) 0,416 152 214 289 622 630 4 × 2 = 0 + 0,832 304 428 579 245 260 8;
  • 18) 0,832 304 428 579 245 260 8 × 2 = 1 + 0,664 608 857 158 490 521 6;
  • 19) 0,664 608 857 158 490 521 6 × 2 = 1 + 0,329 217 714 316 981 043 2;
  • 20) 0,329 217 714 316 981 043 2 × 2 = 0 + 0,658 435 428 633 962 086 4;
  • 21) 0,658 435 428 633 962 086 4 × 2 = 1 + 0,316 870 857 267 924 172 8;
  • 22) 0,316 870 857 267 924 172 8 × 2 = 0 + 0,633 741 714 535 848 345 6;
  • 23) 0,633 741 714 535 848 345 6 × 2 = 1 + 0,267 483 429 071 696 691 2;
  • 24) 0,267 483 429 071 696 691 2 × 2 = 0 + 0,534 966 858 143 393 382 4;
  • 25) 0,534 966 858 143 393 382 4 × 2 = 1 + 0,069 933 716 286 786 764 8;
  • 26) 0,069 933 716 286 786 764 8 × 2 = 0 + 0,139 867 432 573 573 529 6;
  • 27) 0,139 867 432 573 573 529 6 × 2 = 0 + 0,279 734 865 147 147 059 2;
  • 28) 0,279 734 865 147 147 059 2 × 2 = 0 + 0,559 469 730 294 294 118 4;
  • 29) 0,559 469 730 294 294 118 4 × 2 = 1 + 0,118 939 460 588 588 236 8;
  • 30) 0,118 939 460 588 588 236 8 × 2 = 0 + 0,237 878 921 177 176 473 6;
  • 31) 0,237 878 921 177 176 473 6 × 2 = 0 + 0,475 757 842 354 352 947 2;
  • 32) 0,475 757 842 354 352 947 2 × 2 = 0 + 0,951 515 684 708 705 894 4;
  • 33) 0,951 515 684 708 705 894 4 × 2 = 1 + 0,903 031 369 417 411 788 8;
  • 34) 0,903 031 369 417 411 788 8 × 2 = 1 + 0,806 062 738 834 823 577 6;
  • 35) 0,806 062 738 834 823 577 6 × 2 = 1 + 0,612 125 477 669 647 155 2;
  • 36) 0,612 125 477 669 647 155 2 × 2 = 1 + 0,224 250 955 339 294 310 4;
  • 37) 0,224 250 955 339 294 310 4 × 2 = 0 + 0,448 501 910 678 588 620 8;
  • 38) 0,448 501 910 678 588 620 8 × 2 = 0 + 0,897 003 821 357 177 241 6;
  • 39) 0,897 003 821 357 177 241 6 × 2 = 1 + 0,794 007 642 714 354 483 2;
  • 40) 0,794 007 642 714 354 483 2 × 2 = 1 + 0,588 015 285 428 708 966 4;
  • 41) 0,588 015 285 428 708 966 4 × 2 = 1 + 0,176 030 570 857 417 932 8;
  • 42) 0,176 030 570 857 417 932 8 × 2 = 0 + 0,352 061 141 714 835 865 6;
  • 43) 0,352 061 141 714 835 865 6 × 2 = 0 + 0,704 122 283 429 671 731 2;
  • 44) 0,704 122 283 429 671 731 2 × 2 = 1 + 0,408 244 566 859 343 462 4;
  • 45) 0,408 244 566 859 343 462 4 × 2 = 0 + 0,816 489 133 718 686 924 8;
  • 46) 0,816 489 133 718 686 924 8 × 2 = 1 + 0,632 978 267 437 373 849 6;
  • 47) 0,632 978 267 437 373 849 6 × 2 = 1 + 0,265 956 534 874 747 699 2;
  • 48) 0,265 956 534 874 747 699 2 × 2 = 0 + 0,531 913 069 749 495 398 4;
  • 49) 0,531 913 069 749 495 398 4 × 2 = 1 + 0,063 826 139 498 990 796 8;
  • 50) 0,063 826 139 498 990 796 8 × 2 = 0 + 0,127 652 278 997 981 593 6;
  • 51) 0,127 652 278 997 981 593 6 × 2 = 0 + 0,255 304 557 995 963 187 2;
  • 52) 0,255 304 557 995 963 187 2 × 2 = 0 + 0,510 609 115 991 926 374 4;
  • 53) 0,510 609 115 991 926 374 4 × 2 = 1 + 0,021 218 231 983 852 748 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,141 592 653 689 793 237 65(10) =

0,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1111 0011 1001 0110 1000 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

3,141 592 653 689 793 237 65(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1111 0011 1001 0110 1000 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


3,141 592 653 689 793 237 65(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1111 0011 1001 0110 1000 1(2) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1111 0011 1001 0110 1000 1(2) × 20 =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0111 1001 1100 1011 0100 01(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0111 1001 1100 1011 0100 01


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0111 1001 1100 1011 0100 01 =

1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0111 1001 1100 1011 0100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0111 1001 1100 1011 0100


Numărul zecimal 3,141 592 653 689 793 237 65 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0111 1001 1100 1011 0100

Distribuie

» Scriere 3,141 592 653 689 793 237 49 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100