3,141 592 741 012 573 242 059 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 3,141 592 741 012 573 242 059(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
3,141 592 741 012 573 242 059(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 3.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

3(10) =

11(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,141 592 741 012 573 242 059.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,141 592 741 012 573 242 059 × 2 = 0 + 0,283 185 482 025 146 484 118;
  • 2) 0,283 185 482 025 146 484 118 × 2 = 0 + 0,566 370 964 050 292 968 236;
  • 3) 0,566 370 964 050 292 968 236 × 2 = 1 + 0,132 741 928 100 585 936 472;
  • 4) 0,132 741 928 100 585 936 472 × 2 = 0 + 0,265 483 856 201 171 872 944;
  • 5) 0,265 483 856 201 171 872 944 × 2 = 0 + 0,530 967 712 402 343 745 888;
  • 6) 0,530 967 712 402 343 745 888 × 2 = 1 + 0,061 935 424 804 687 491 776;
  • 7) 0,061 935 424 804 687 491 776 × 2 = 0 + 0,123 870 849 609 374 983 552;
  • 8) 0,123 870 849 609 374 983 552 × 2 = 0 + 0,247 741 699 218 749 967 104;
  • 9) 0,247 741 699 218 749 967 104 × 2 = 0 + 0,495 483 398 437 499 934 208;
  • 10) 0,495 483 398 437 499 934 208 × 2 = 0 + 0,990 966 796 874 999 868 416;
  • 11) 0,990 966 796 874 999 868 416 × 2 = 1 + 0,981 933 593 749 999 736 832;
  • 12) 0,981 933 593 749 999 736 832 × 2 = 1 + 0,963 867 187 499 999 473 664;
  • 13) 0,963 867 187 499 999 473 664 × 2 = 1 + 0,927 734 374 999 998 947 328;
  • 14) 0,927 734 374 999 998 947 328 × 2 = 1 + 0,855 468 749 999 997 894 656;
  • 15) 0,855 468 749 999 997 894 656 × 2 = 1 + 0,710 937 499 999 995 789 312;
  • 16) 0,710 937 499 999 995 789 312 × 2 = 1 + 0,421 874 999 999 991 578 624;
  • 17) 0,421 874 999 999 991 578 624 × 2 = 0 + 0,843 749 999 999 983 157 248;
  • 18) 0,843 749 999 999 983 157 248 × 2 = 1 + 0,687 499 999 999 966 314 496;
  • 19) 0,687 499 999 999 966 314 496 × 2 = 1 + 0,374 999 999 999 932 628 992;
  • 20) 0,374 999 999 999 932 628 992 × 2 = 0 + 0,749 999 999 999 865 257 984;
  • 21) 0,749 999 999 999 865 257 984 × 2 = 1 + 0,499 999 999 999 730 515 968;
  • 22) 0,499 999 999 999 730 515 968 × 2 = 0 + 0,999 999 999 999 461 031 936;
  • 23) 0,999 999 999 999 461 031 936 × 2 = 1 + 0,999 999 999 998 922 063 872;
  • 24) 0,999 999 999 998 922 063 872 × 2 = 1 + 0,999 999 999 997 844 127 744;
  • 25) 0,999 999 999 997 844 127 744 × 2 = 1 + 0,999 999 999 995 688 255 488;
  • 26) 0,999 999 999 995 688 255 488 × 2 = 1 + 0,999 999 999 991 376 510 976;
  • 27) 0,999 999 999 991 376 510 976 × 2 = 1 + 0,999 999 999 982 753 021 952;
  • 28) 0,999 999 999 982 753 021 952 × 2 = 1 + 0,999 999 999 965 506 043 904;
  • 29) 0,999 999 999 965 506 043 904 × 2 = 1 + 0,999 999 999 931 012 087 808;
  • 30) 0,999 999 999 931 012 087 808 × 2 = 1 + 0,999 999 999 862 024 175 616;
  • 31) 0,999 999 999 862 024 175 616 × 2 = 1 + 0,999 999 999 724 048 351 232;
  • 32) 0,999 999 999 724 048 351 232 × 2 = 1 + 0,999 999 999 448 096 702 464;
  • 33) 0,999 999 999 448 096 702 464 × 2 = 1 + 0,999 999 998 896 193 404 928;
  • 34) 0,999 999 998 896 193 404 928 × 2 = 1 + 0,999 999 997 792 386 809 856;
  • 35) 0,999 999 997 792 386 809 856 × 2 = 1 + 0,999 999 995 584 773 619 712;
  • 36) 0,999 999 995 584 773 619 712 × 2 = 1 + 0,999 999 991 169 547 239 424;
  • 37) 0,999 999 991 169 547 239 424 × 2 = 1 + 0,999 999 982 339 094 478 848;
  • 38) 0,999 999 982 339 094 478 848 × 2 = 1 + 0,999 999 964 678 188 957 696;
  • 39) 0,999 999 964 678 188 957 696 × 2 = 1 + 0,999 999 929 356 377 915 392;
  • 40) 0,999 999 929 356 377 915 392 × 2 = 1 + 0,999 999 858 712 755 830 784;
  • 41) 0,999 999 858 712 755 830 784 × 2 = 1 + 0,999 999 717 425 511 661 568;
  • 42) 0,999 999 717 425 511 661 568 × 2 = 1 + 0,999 999 434 851 023 323 136;
  • 43) 0,999 999 434 851 023 323 136 × 2 = 1 + 0,999 998 869 702 046 646 272;
  • 44) 0,999 998 869 702 046 646 272 × 2 = 1 + 0,999 997 739 404 093 292 544;
  • 45) 0,999 997 739 404 093 292 544 × 2 = 1 + 0,999 995 478 808 186 585 088;
  • 46) 0,999 995 478 808 186 585 088 × 2 = 1 + 0,999 990 957 616 373 170 176;
  • 47) 0,999 990 957 616 373 170 176 × 2 = 1 + 0,999 981 915 232 746 340 352;
  • 48) 0,999 981 915 232 746 340 352 × 2 = 1 + 0,999 963 830 465 492 680 704;
  • 49) 0,999 963 830 465 492 680 704 × 2 = 1 + 0,999 927 660 930 985 361 408;
  • 50) 0,999 927 660 930 985 361 408 × 2 = 1 + 0,999 855 321 861 970 722 816;
  • 51) 0,999 855 321 861 970 722 816 × 2 = 1 + 0,999 710 643 723 941 445 632;
  • 52) 0,999 710 643 723 941 445 632 × 2 = 1 + 0,999 421 287 447 882 891 264;
  • 53) 0,999 421 287 447 882 891 264 × 2 = 1 + 0,998 842 574 895 765 782 528;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,141 592 741 012 573 242 059(10) =

0,0010 0100 0011 1111 0110 1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

3,141 592 741 012 573 242 059(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


3,141 592 741 012 573 242 059(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1(2) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1(2) × 20 =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0001 1111 1011 0101 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11 =

1001 0010 0001 1111 1011 0101 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0001 1111 1011 0101 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111


Numărul zecimal 3,141 592 741 012 573 242 059 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 1001 0010 0001 1111 1011 0101 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

Distribuie

» Scriere 3,141 592 741 012 573 241 994 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100