3,141 592 741 012 573 242 210 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 3,141 592 741 012 573 242 210 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
3,141 592 741 012 573 242 210 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 3.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

3(10) =

11(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,141 592 741 012 573 242 210 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,141 592 741 012 573 242 210 5 × 2 = 0 + 0,283 185 482 025 146 484 421;
  • 2) 0,283 185 482 025 146 484 421 × 2 = 0 + 0,566 370 964 050 292 968 842;
  • 3) 0,566 370 964 050 292 968 842 × 2 = 1 + 0,132 741 928 100 585 937 684;
  • 4) 0,132 741 928 100 585 937 684 × 2 = 0 + 0,265 483 856 201 171 875 368;
  • 5) 0,265 483 856 201 171 875 368 × 2 = 0 + 0,530 967 712 402 343 750 736;
  • 6) 0,530 967 712 402 343 750 736 × 2 = 1 + 0,061 935 424 804 687 501 472;
  • 7) 0,061 935 424 804 687 501 472 × 2 = 0 + 0,123 870 849 609 375 002 944;
  • 8) 0,123 870 849 609 375 002 944 × 2 = 0 + 0,247 741 699 218 750 005 888;
  • 9) 0,247 741 699 218 750 005 888 × 2 = 0 + 0,495 483 398 437 500 011 776;
  • 10) 0,495 483 398 437 500 011 776 × 2 = 0 + 0,990 966 796 875 000 023 552;
  • 11) 0,990 966 796 875 000 023 552 × 2 = 1 + 0,981 933 593 750 000 047 104;
  • 12) 0,981 933 593 750 000 047 104 × 2 = 1 + 0,963 867 187 500 000 094 208;
  • 13) 0,963 867 187 500 000 094 208 × 2 = 1 + 0,927 734 375 000 000 188 416;
  • 14) 0,927 734 375 000 000 188 416 × 2 = 1 + 0,855 468 750 000 000 376 832;
  • 15) 0,855 468 750 000 000 376 832 × 2 = 1 + 0,710 937 500 000 000 753 664;
  • 16) 0,710 937 500 000 000 753 664 × 2 = 1 + 0,421 875 000 000 001 507 328;
  • 17) 0,421 875 000 000 001 507 328 × 2 = 0 + 0,843 750 000 000 003 014 656;
  • 18) 0,843 750 000 000 003 014 656 × 2 = 1 + 0,687 500 000 000 006 029 312;
  • 19) 0,687 500 000 000 006 029 312 × 2 = 1 + 0,375 000 000 000 012 058 624;
  • 20) 0,375 000 000 000 012 058 624 × 2 = 0 + 0,750 000 000 000 024 117 248;
  • 21) 0,750 000 000 000 024 117 248 × 2 = 1 + 0,500 000 000 000 048 234 496;
  • 22) 0,500 000 000 000 048 234 496 × 2 = 1 + 0,000 000 000 000 096 468 992;
  • 23) 0,000 000 000 000 096 468 992 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 192 937 984;
  • 24) 0,000 000 000 000 192 937 984 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 385 875 968;
  • 25) 0,000 000 000 000 385 875 968 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 771 751 936;
  • 26) 0,000 000 000 000 771 751 936 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 543 503 872;
  • 27) 0,000 000 000 001 543 503 872 × 2 = 0 + 0,000 000 000 003 087 007 744;
  • 28) 0,000 000 000 003 087 007 744 × 2 = 0 + 0,000 000 000 006 174 015 488;
  • 29) 0,000 000 000 006 174 015 488 × 2 = 0 + 0,000 000 000 012 348 030 976;
  • 30) 0,000 000 000 012 348 030 976 × 2 = 0 + 0,000 000 000 024 696 061 952;
  • 31) 0,000 000 000 024 696 061 952 × 2 = 0 + 0,000 000 000 049 392 123 904;
  • 32) 0,000 000 000 049 392 123 904 × 2 = 0 + 0,000 000 000 098 784 247 808;
  • 33) 0,000 000 000 098 784 247 808 × 2 = 0 + 0,000 000 000 197 568 495 616;
  • 34) 0,000 000 000 197 568 495 616 × 2 = 0 + 0,000 000 000 395 136 991 232;
  • 35) 0,000 000 000 395 136 991 232 × 2 = 0 + 0,000 000 000 790 273 982 464;
  • 36) 0,000 000 000 790 273 982 464 × 2 = 0 + 0,000 000 001 580 547 964 928;
  • 37) 0,000 000 001 580 547 964 928 × 2 = 0 + 0,000 000 003 161 095 929 856;
  • 38) 0,000 000 003 161 095 929 856 × 2 = 0 + 0,000 000 006 322 191 859 712;
  • 39) 0,000 000 006 322 191 859 712 × 2 = 0 + 0,000 000 012 644 383 719 424;
  • 40) 0,000 000 012 644 383 719 424 × 2 = 0 + 0,000 000 025 288 767 438 848;
  • 41) 0,000 000 025 288 767 438 848 × 2 = 0 + 0,000 000 050 577 534 877 696;
  • 42) 0,000 000 050 577 534 877 696 × 2 = 0 + 0,000 000 101 155 069 755 392;
  • 43) 0,000 000 101 155 069 755 392 × 2 = 0 + 0,000 000 202 310 139 510 784;
  • 44) 0,000 000 202 310 139 510 784 × 2 = 0 + 0,000 000 404 620 279 021 568;
  • 45) 0,000 000 404 620 279 021 568 × 2 = 0 + 0,000 000 809 240 558 043 136;
  • 46) 0,000 000 809 240 558 043 136 × 2 = 0 + 0,000 001 618 481 116 086 272;
  • 47) 0,000 001 618 481 116 086 272 × 2 = 0 + 0,000 003 236 962 232 172 544;
  • 48) 0,000 003 236 962 232 172 544 × 2 = 0 + 0,000 006 473 924 464 345 088;
  • 49) 0,000 006 473 924 464 345 088 × 2 = 0 + 0,000 012 947 848 928 690 176;
  • 50) 0,000 012 947 848 928 690 176 × 2 = 0 + 0,000 025 895 697 857 380 352;
  • 51) 0,000 025 895 697 857 380 352 × 2 = 0 + 0,000 051 791 395 714 760 704;
  • 52) 0,000 051 791 395 714 760 704 × 2 = 0 + 0,000 103 582 791 429 521 408;
  • 53) 0,000 103 582 791 429 521 408 × 2 = 0 + 0,000 207 165 582 859 042 816;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,141 592 741 012 573 242 210 5(10) =

0,0010 0100 0011 1111 0110 1100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

3,141 592 741 012 573 242 210 5(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


3,141 592 741 012 573 242 210 5(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0(2) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0(2) × 20 =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0001 1111 1011 0110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0001 1111 1011 0110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00 =

1001 0010 0001 1111 1011 0110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0001 1111 1011 0110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000


Numărul zecimal 3,141 592 741 012 573 242 210 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 1001 0010 0001 1111 1011 0110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

Distribuie

» Scriere 3,141 592 741 012 573 242 212 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100