3,421 299 999 999 999 563 728 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 3,421 299 999 999 999 563 728 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
3,421 299 999 999 999 563 728 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 3.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

3(10) =

11(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,421 299 999 999 999 563 728 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,421 299 999 999 999 563 728 1 × 2 = 0 + 0,842 599 999 999 999 127 456 2;
  • 2) 0,842 599 999 999 999 127 456 2 × 2 = 1 + 0,685 199 999 999 998 254 912 4;
  • 3) 0,685 199 999 999 998 254 912 4 × 2 = 1 + 0,370 399 999 999 996 509 824 8;
  • 4) 0,370 399 999 999 996 509 824 8 × 2 = 0 + 0,740 799 999 999 993 019 649 6;
  • 5) 0,740 799 999 999 993 019 649 6 × 2 = 1 + 0,481 599 999 999 986 039 299 2;
  • 6) 0,481 599 999 999 986 039 299 2 × 2 = 0 + 0,963 199 999 999 972 078 598 4;
  • 7) 0,963 199 999 999 972 078 598 4 × 2 = 1 + 0,926 399 999 999 944 157 196 8;
  • 8) 0,926 399 999 999 944 157 196 8 × 2 = 1 + 0,852 799 999 999 888 314 393 6;
  • 9) 0,852 799 999 999 888 314 393 6 × 2 = 1 + 0,705 599 999 999 776 628 787 2;
  • 10) 0,705 599 999 999 776 628 787 2 × 2 = 1 + 0,411 199 999 999 553 257 574 4;
  • 11) 0,411 199 999 999 553 257 574 4 × 2 = 0 + 0,822 399 999 999 106 515 148 8;
  • 12) 0,822 399 999 999 106 515 148 8 × 2 = 1 + 0,644 799 999 998 213 030 297 6;
  • 13) 0,644 799 999 998 213 030 297 6 × 2 = 1 + 0,289 599 999 996 426 060 595 2;
  • 14) 0,289 599 999 996 426 060 595 2 × 2 = 0 + 0,579 199 999 992 852 121 190 4;
  • 15) 0,579 199 999 992 852 121 190 4 × 2 = 1 + 0,158 399 999 985 704 242 380 8;
  • 16) 0,158 399 999 985 704 242 380 8 × 2 = 0 + 0,316 799 999 971 408 484 761 6;
  • 17) 0,316 799 999 971 408 484 761 6 × 2 = 0 + 0,633 599 999 942 816 969 523 2;
  • 18) 0,633 599 999 942 816 969 523 2 × 2 = 1 + 0,267 199 999 885 633 939 046 4;
  • 19) 0,267 199 999 885 633 939 046 4 × 2 = 0 + 0,534 399 999 771 267 878 092 8;
  • 20) 0,534 399 999 771 267 878 092 8 × 2 = 1 + 0,068 799 999 542 535 756 185 6;
  • 21) 0,068 799 999 542 535 756 185 6 × 2 = 0 + 0,137 599 999 085 071 512 371 2;
  • 22) 0,137 599 999 085 071 512 371 2 × 2 = 0 + 0,275 199 998 170 143 024 742 4;
  • 23) 0,275 199 998 170 143 024 742 4 × 2 = 0 + 0,550 399 996 340 286 049 484 8;
  • 24) 0,550 399 996 340 286 049 484 8 × 2 = 1 + 0,100 799 992 680 572 098 969 6;
  • 25) 0,100 799 992 680 572 098 969 6 × 2 = 0 + 0,201 599 985 361 144 197 939 2;
  • 26) 0,201 599 985 361 144 197 939 2 × 2 = 0 + 0,403 199 970 722 288 395 878 4;
  • 27) 0,403 199 970 722 288 395 878 4 × 2 = 0 + 0,806 399 941 444 576 791 756 8;
  • 28) 0,806 399 941 444 576 791 756 8 × 2 = 1 + 0,612 799 882 889 153 583 513 6;
  • 29) 0,612 799 882 889 153 583 513 6 × 2 = 1 + 0,225 599 765 778 307 167 027 2;
  • 30) 0,225 599 765 778 307 167 027 2 × 2 = 0 + 0,451 199 531 556 614 334 054 4;
  • 31) 0,451 199 531 556 614 334 054 4 × 2 = 0 + 0,902 399 063 113 228 668 108 8;
  • 32) 0,902 399 063 113 228 668 108 8 × 2 = 1 + 0,804 798 126 226 457 336 217 6;
  • 33) 0,804 798 126 226 457 336 217 6 × 2 = 1 + 0,609 596 252 452 914 672 435 2;
  • 34) 0,609 596 252 452 914 672 435 2 × 2 = 1 + 0,219 192 504 905 829 344 870 4;
  • 35) 0,219 192 504 905 829 344 870 4 × 2 = 0 + 0,438 385 009 811 658 689 740 8;
  • 36) 0,438 385 009 811 658 689 740 8 × 2 = 0 + 0,876 770 019 623 317 379 481 6;
  • 37) 0,876 770 019 623 317 379 481 6 × 2 = 1 + 0,753 540 039 246 634 758 963 2;
  • 38) 0,753 540 039 246 634 758 963 2 × 2 = 1 + 0,507 080 078 493 269 517 926 4;
  • 39) 0,507 080 078 493 269 517 926 4 × 2 = 1 + 0,014 160 156 986 539 035 852 8;
  • 40) 0,014 160 156 986 539 035 852 8 × 2 = 0 + 0,028 320 313 973 078 071 705 6;
  • 41) 0,028 320 313 973 078 071 705 6 × 2 = 0 + 0,056 640 627 946 156 143 411 2;
  • 42) 0,056 640 627 946 156 143 411 2 × 2 = 0 + 0,113 281 255 892 312 286 822 4;
  • 43) 0,113 281 255 892 312 286 822 4 × 2 = 0 + 0,226 562 511 784 624 573 644 8;
  • 44) 0,226 562 511 784 624 573 644 8 × 2 = 0 + 0,453 125 023 569 249 147 289 6;
  • 45) 0,453 125 023 569 249 147 289 6 × 2 = 0 + 0,906 250 047 138 498 294 579 2;
  • 46) 0,906 250 047 138 498 294 579 2 × 2 = 1 + 0,812 500 094 276 996 589 158 4;
  • 47) 0,812 500 094 276 996 589 158 4 × 2 = 1 + 0,625 000 188 553 993 178 316 8;
  • 48) 0,625 000 188 553 993 178 316 8 × 2 = 1 + 0,250 000 377 107 986 356 633 6;
  • 49) 0,250 000 377 107 986 356 633 6 × 2 = 0 + 0,500 000 754 215 972 713 267 2;
  • 50) 0,500 000 754 215 972 713 267 2 × 2 = 1 + 0,000 001 508 431 945 426 534 4;
  • 51) 0,000 001 508 431 945 426 534 4 × 2 = 0 + 0,000 003 016 863 890 853 068 8;
  • 52) 0,000 003 016 863 890 853 068 8 × 2 = 0 + 0,000 006 033 727 781 706 137 6;
  • 53) 0,000 006 033 727 781 706 137 6 × 2 = 0 + 0,000 012 067 455 563 412 275 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,421 299 999 999 999 563 728 1(10) =

0,0110 1011 1101 1010 0101 0001 0001 1001 1100 1110 0000 0111 0100 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

3,421 299 999 999 999 563 728 1(10) =

11,0110 1011 1101 1010 0101 0001 0001 1001 1100 1110 0000 0111 0100 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


3,421 299 999 999 999 563 728 1(10) =

11,0110 1011 1101 1010 0101 0001 0001 1001 1100 1110 0000 0111 0100 0(2) =

11,0110 1011 1101 1010 0101 0001 0001 1001 1100 1110 0000 0111 0100 0(2) × 20 =

1,1011 0101 1110 1101 0010 1000 1000 1100 1110 0111 0000 0011 1010 00(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 0101 1110 1101 0010 1000 1000 1100 1110 0111 0000 0011 1010 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 0101 1110 1101 0010 1000 1000 1100 1110 0111 0000 0011 1010 00 =

1011 0101 1110 1101 0010 1000 1000 1100 1110 0111 0000 0011 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
1011 0101 1110 1101 0010 1000 1000 1100 1110 0111 0000 0011 1010


Numărul zecimal 3,421 299 999 999 999 563 728 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 1011 0101 1110 1101 0010 1000 1000 1100 1110 0111 0000 0011 1010

» Scriere 3,421 299 999 999 999 563 718 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100