300,347 198 486 310 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 300,347 198 486 310 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
300,347 198 486 310 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 300.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 300 : 2 = 150 + 0;
  • 150 : 2 = 75 + 0;
  • 75 : 2 = 37 + 1;
  • 37 : 2 = 18 + 1;
  • 18 : 2 = 9 + 0;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

300(10) =

1 0010 1100(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,347 198 486 310 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,347 198 486 310 2 × 2 = 0 + 0,694 396 972 620 4;
  • 2) 0,694 396 972 620 4 × 2 = 1 + 0,388 793 945 240 8;
  • 3) 0,388 793 945 240 8 × 2 = 0 + 0,777 587 890 481 6;
  • 4) 0,777 587 890 481 6 × 2 = 1 + 0,555 175 780 963 2;
  • 5) 0,555 175 780 963 2 × 2 = 1 + 0,110 351 561 926 4;
  • 6) 0,110 351 561 926 4 × 2 = 0 + 0,220 703 123 852 8;
  • 7) 0,220 703 123 852 8 × 2 = 0 + 0,441 406 247 705 6;
  • 8) 0,441 406 247 705 6 × 2 = 0 + 0,882 812 495 411 2;
  • 9) 0,882 812 495 411 2 × 2 = 1 + 0,765 624 990 822 4;
  • 10) 0,765 624 990 822 4 × 2 = 1 + 0,531 249 981 644 8;
  • 11) 0,531 249 981 644 8 × 2 = 1 + 0,062 499 963 289 6;
  • 12) 0,062 499 963 289 6 × 2 = 0 + 0,124 999 926 579 2;
  • 13) 0,124 999 926 579 2 × 2 = 0 + 0,249 999 853 158 4;
  • 14) 0,249 999 853 158 4 × 2 = 0 + 0,499 999 706 316 8;
  • 15) 0,499 999 706 316 8 × 2 = 0 + 0,999 999 412 633 6;
  • 16) 0,999 999 412 633 6 × 2 = 1 + 0,999 998 825 267 2;
  • 17) 0,999 998 825 267 2 × 2 = 1 + 0,999 997 650 534 4;
  • 18) 0,999 997 650 534 4 × 2 = 1 + 0,999 995 301 068 8;
  • 19) 0,999 995 301 068 8 × 2 = 1 + 0,999 990 602 137 6;
  • 20) 0,999 990 602 137 6 × 2 = 1 + 0,999 981 204 275 2;
  • 21) 0,999 981 204 275 2 × 2 = 1 + 0,999 962 408 550 4;
  • 22) 0,999 962 408 550 4 × 2 = 1 + 0,999 924 817 100 8;
  • 23) 0,999 924 817 100 8 × 2 = 1 + 0,999 849 634 201 6;
  • 24) 0,999 849 634 201 6 × 2 = 1 + 0,999 699 268 403 2;
  • 25) 0,999 699 268 403 2 × 2 = 1 + 0,999 398 536 806 4;
  • 26) 0,999 398 536 806 4 × 2 = 1 + 0,998 797 073 612 8;
  • 27) 0,998 797 073 612 8 × 2 = 1 + 0,997 594 147 225 6;
  • 28) 0,997 594 147 225 6 × 2 = 1 + 0,995 188 294 451 2;
  • 29) 0,995 188 294 451 2 × 2 = 1 + 0,990 376 588 902 4;
  • 30) 0,990 376 588 902 4 × 2 = 1 + 0,980 753 177 804 8;
  • 31) 0,980 753 177 804 8 × 2 = 1 + 0,961 506 355 609 6;
  • 32) 0,961 506 355 609 6 × 2 = 1 + 0,923 012 711 219 2;
  • 33) 0,923 012 711 219 2 × 2 = 1 + 0,846 025 422 438 4;
  • 34) 0,846 025 422 438 4 × 2 = 1 + 0,692 050 844 876 8;
  • 35) 0,692 050 844 876 8 × 2 = 1 + 0,384 101 689 753 6;
  • 36) 0,384 101 689 753 6 × 2 = 0 + 0,768 203 379 507 2;
  • 37) 0,768 203 379 507 2 × 2 = 1 + 0,536 406 759 014 4;
  • 38) 0,536 406 759 014 4 × 2 = 1 + 0,072 813 518 028 8;
  • 39) 0,072 813 518 028 8 × 2 = 0 + 0,145 627 036 057 6;
  • 40) 0,145 627 036 057 6 × 2 = 0 + 0,291 254 072 115 2;
  • 41) 0,291 254 072 115 2 × 2 = 0 + 0,582 508 144 230 4;
  • 42) 0,582 508 144 230 4 × 2 = 1 + 0,165 016 288 460 8;
  • 43) 0,165 016 288 460 8 × 2 = 0 + 0,330 032 576 921 6;
  • 44) 0,330 032 576 921 6 × 2 = 0 + 0,660 065 153 843 2;
  • 45) 0,660 065 153 843 2 × 2 = 1 + 0,320 130 307 686 4;
  • 46) 0,320 130 307 686 4 × 2 = 0 + 0,640 260 615 372 8;
  • 47) 0,640 260 615 372 8 × 2 = 1 + 0,280 521 230 745 6;
  • 48) 0,280 521 230 745 6 × 2 = 0 + 0,561 042 461 491 2;
  • 49) 0,561 042 461 491 2 × 2 = 1 + 0,122 084 922 982 4;
  • 50) 0,122 084 922 982 4 × 2 = 0 + 0,244 169 845 964 8;
  • 51) 0,244 169 845 964 8 × 2 = 0 + 0,488 339 691 929 6;
  • 52) 0,488 339 691 929 6 × 2 = 0 + 0,976 679 383 859 2;
  • 53) 0,976 679 383 859 2 × 2 = 1 + 0,953 358 767 718 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,347 198 486 310 2(10) =

0,0101 1000 1110 0001 1111 1111 1111 1111 1110 1100 0100 1010 1000 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

300,347 198 486 310 2(10) =

1 0010 1100,0101 1000 1110 0001 1111 1111 1111 1111 1110 1100 0100 1010 1000 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 8 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


300,347 198 486 310 2(10) =

1 0010 1100,0101 1000 1110 0001 1111 1111 1111 1111 1110 1100 0100 1010 1000 1(2) =

1 0010 1100,0101 1000 1110 0001 1111 1111 1111 1111 1110 1100 0100 1010 1000 1(2) × 20 =

1,0010 1100 0101 1000 1110 0001 1111 1111 1111 1111 1110 1100 0100 1010 1000 1(2) × 28


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 8

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1100 0101 1000 1110 0001 1111 1111 1111 1111 1110 1100 0100 1010 1000 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

8 + 2(11-1) - 1 =

(8 + 1 023)(10) =

1 031(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 031 : 2 = 515 + 1;
  • 515 : 2 = 257 + 1;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1031(10) =

100 0000 0111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1100 0101 1000 1110 0001 1111 1111 1111 1111 1110 1100 0100 1 0101 0001 =

0010 1100 0101 1000 1110 0001 1111 1111 1111 1111 1110 1100 0100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0111

Mantisă (52 biți) =
0010 1100 0101 1000 1110 0001 1111 1111 1111 1111 1110 1100 0100


Numărul zecimal 300,347 198 486 310 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0111 - 0010 1100 0101 1000 1110 0001 1111 1111 1111 1111 1110 1100 0100

Distribuie

» Scriere 300,347 198 486 310 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100