3 174,624 301 596 932 582 469 99 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 3 174,624 301 596 932 582 469 99(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
3 174,624 301 596 932 582 469 99(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 3 174.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 3 174 : 2 = 1 587 + 0;
  • 1 587 : 2 = 793 + 1;
  • 793 : 2 = 396 + 1;
  • 396 : 2 = 198 + 0;
  • 198 : 2 = 99 + 0;
  • 99 : 2 = 49 + 1;
  • 49 : 2 = 24 + 1;
  • 24 : 2 = 12 + 0;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

3 174(10) =

1100 0110 0110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,624 301 596 932 582 469 99.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,624 301 596 932 582 469 99 × 2 = 1 + 0,248 603 193 865 164 939 98;
  • 2) 0,248 603 193 865 164 939 98 × 2 = 0 + 0,497 206 387 730 329 879 96;
  • 3) 0,497 206 387 730 329 879 96 × 2 = 0 + 0,994 412 775 460 659 759 92;
  • 4) 0,994 412 775 460 659 759 92 × 2 = 1 + 0,988 825 550 921 319 519 84;
  • 5) 0,988 825 550 921 319 519 84 × 2 = 1 + 0,977 651 101 842 639 039 68;
  • 6) 0,977 651 101 842 639 039 68 × 2 = 1 + 0,955 302 203 685 278 079 36;
  • 7) 0,955 302 203 685 278 079 36 × 2 = 1 + 0,910 604 407 370 556 158 72;
  • 8) 0,910 604 407 370 556 158 72 × 2 = 1 + 0,821 208 814 741 112 317 44;
  • 9) 0,821 208 814 741 112 317 44 × 2 = 1 + 0,642 417 629 482 224 634 88;
  • 10) 0,642 417 629 482 224 634 88 × 2 = 1 + 0,284 835 258 964 449 269 76;
  • 11) 0,284 835 258 964 449 269 76 × 2 = 0 + 0,569 670 517 928 898 539 52;
  • 12) 0,569 670 517 928 898 539 52 × 2 = 1 + 0,139 341 035 857 797 079 04;
  • 13) 0,139 341 035 857 797 079 04 × 2 = 0 + 0,278 682 071 715 594 158 08;
  • 14) 0,278 682 071 715 594 158 08 × 2 = 0 + 0,557 364 143 431 188 316 16;
  • 15) 0,557 364 143 431 188 316 16 × 2 = 1 + 0,114 728 286 862 376 632 32;
  • 16) 0,114 728 286 862 376 632 32 × 2 = 0 + 0,229 456 573 724 753 264 64;
  • 17) 0,229 456 573 724 753 264 64 × 2 = 0 + 0,458 913 147 449 506 529 28;
  • 18) 0,458 913 147 449 506 529 28 × 2 = 0 + 0,917 826 294 899 013 058 56;
  • 19) 0,917 826 294 899 013 058 56 × 2 = 1 + 0,835 652 589 798 026 117 12;
  • 20) 0,835 652 589 798 026 117 12 × 2 = 1 + 0,671 305 179 596 052 234 24;
  • 21) 0,671 305 179 596 052 234 24 × 2 = 1 + 0,342 610 359 192 104 468 48;
  • 22) 0,342 610 359 192 104 468 48 × 2 = 0 + 0,685 220 718 384 208 936 96;
  • 23) 0,685 220 718 384 208 936 96 × 2 = 1 + 0,370 441 436 768 417 873 92;
  • 24) 0,370 441 436 768 417 873 92 × 2 = 0 + 0,740 882 873 536 835 747 84;
  • 25) 0,740 882 873 536 835 747 84 × 2 = 1 + 0,481 765 747 073 671 495 68;
  • 26) 0,481 765 747 073 671 495 68 × 2 = 0 + 0,963 531 494 147 342 991 36;
  • 27) 0,963 531 494 147 342 991 36 × 2 = 1 + 0,927 062 988 294 685 982 72;
  • 28) 0,927 062 988 294 685 982 72 × 2 = 1 + 0,854 125 976 589 371 965 44;
  • 29) 0,854 125 976 589 371 965 44 × 2 = 1 + 0,708 251 953 178 743 930 88;
  • 30) 0,708 251 953 178 743 930 88 × 2 = 1 + 0,416 503 906 357 487 861 76;
  • 31) 0,416 503 906 357 487 861 76 × 2 = 0 + 0,833 007 812 714 975 723 52;
  • 32) 0,833 007 812 714 975 723 52 × 2 = 1 + 0,666 015 625 429 951 447 04;
  • 33) 0,666 015 625 429 951 447 04 × 2 = 1 + 0,332 031 250 859 902 894 08;
  • 34) 0,332 031 250 859 902 894 08 × 2 = 0 + 0,664 062 501 719 805 788 16;
  • 35) 0,664 062 501 719 805 788 16 × 2 = 1 + 0,328 125 003 439 611 576 32;
  • 36) 0,328 125 003 439 611 576 32 × 2 = 0 + 0,656 250 006 879 223 152 64;
  • 37) 0,656 250 006 879 223 152 64 × 2 = 1 + 0,312 500 013 758 446 305 28;
  • 38) 0,312 500 013 758 446 305 28 × 2 = 0 + 0,625 000 027 516 892 610 56;
  • 39) 0,625 000 027 516 892 610 56 × 2 = 1 + 0,250 000 055 033 785 221 12;
  • 40) 0,250 000 055 033 785 221 12 × 2 = 0 + 0,500 000 110 067 570 442 24;
  • 41) 0,500 000 110 067 570 442 24 × 2 = 1 + 0,000 000 220 135 140 884 48;
  • 42) 0,000 000 220 135 140 884 48 × 2 = 0 + 0,000 000 440 270 281 768 96;
  • 43) 0,000 000 440 270 281 768 96 × 2 = 0 + 0,000 000 880 540 563 537 92;
  • 44) 0,000 000 880 540 563 537 92 × 2 = 0 + 0,000 001 761 081 127 075 84;
  • 45) 0,000 001 761 081 127 075 84 × 2 = 0 + 0,000 003 522 162 254 151 68;
  • 46) 0,000 003 522 162 254 151 68 × 2 = 0 + 0,000 007 044 324 508 303 36;
  • 47) 0,000 007 044 324 508 303 36 × 2 = 0 + 0,000 014 088 649 016 606 72;
  • 48) 0,000 014 088 649 016 606 72 × 2 = 0 + 0,000 028 177 298 033 213 44;
  • 49) 0,000 028 177 298 033 213 44 × 2 = 0 + 0,000 056 354 596 066 426 88;
  • 50) 0,000 056 354 596 066 426 88 × 2 = 0 + 0,000 112 709 192 132 853 76;
  • 51) 0,000 112 709 192 132 853 76 × 2 = 0 + 0,000 225 418 384 265 707 52;
  • 52) 0,000 225 418 384 265 707 52 × 2 = 0 + 0,000 450 836 768 531 415 04;
  • 53) 0,000 450 836 768 531 415 04 × 2 = 0 + 0,000 901 673 537 062 830 08;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,624 301 596 932 582 469 99(10) =

0,1001 1111 1101 0010 0011 1010 1011 1101 1010 1010 1000 0000 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

3 174,624 301 596 932 582 469 99(10) =

1100 0110 0110,1001 1111 1101 0010 0011 1010 1011 1101 1010 1010 1000 0000 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 11 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


3 174,624 301 596 932 582 469 99(10) =

1100 0110 0110,1001 1111 1101 0010 0011 1010 1011 1101 1010 1010 1000 0000 0000 0(2) =

1100 0110 0110,1001 1111 1101 0010 0011 1010 1011 1101 1010 1010 1000 0000 0000 0(2) × 20 =

1,1000 1100 1101 0011 1111 1010 0100 0111 0101 0111 1011 0101 0101 0000 0000 0000(2) × 211


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 11

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 1100 1101 0011 1111 1010 0100 0111 0101 0111 1011 0101 0101 0000 0000 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

11 + 2(11-1) - 1 =

(11 + 1 023)(10) =

1 034(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 034 : 2 = 517 + 0;
  • 517 : 2 = 258 + 1;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1034(10) =

100 0000 1010(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 1100 1101 0011 1111 1010 0100 0111 0101 0111 1011 0101 0101 0000 0000 0000 =

1000 1100 1101 0011 1111 1010 0100 0111 0101 0111 1011 0101 0101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1010

Mantisă (52 biți) =
1000 1100 1101 0011 1111 1010 0100 0111 0101 0111 1011 0101 0101


Numărul zecimal 3 174,624 301 596 932 582 469 99 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1010 - 1000 1100 1101 0011 1111 1010 0100 0111 0101 0111 1011 0101 0101

Distribuie

» Scriere 3 174,624 301 596 932 582 470 61 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100