32,003 906 726 895 372 969 315 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 32,003 906 726 895 372 969 315(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
32,003 906 726 895 372 969 315(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 32.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

32(10) =

10 0000(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,003 906 726 895 372 969 315.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,003 906 726 895 372 969 315 × 2 = 0 + 0,007 813 453 790 745 938 63;
  • 2) 0,007 813 453 790 745 938 63 × 2 = 0 + 0,015 626 907 581 491 877 26;
  • 3) 0,015 626 907 581 491 877 26 × 2 = 0 + 0,031 253 815 162 983 754 52;
  • 4) 0,031 253 815 162 983 754 52 × 2 = 0 + 0,062 507 630 325 967 509 04;
  • 5) 0,062 507 630 325 967 509 04 × 2 = 0 + 0,125 015 260 651 935 018 08;
  • 6) 0,125 015 260 651 935 018 08 × 2 = 0 + 0,250 030 521 303 870 036 16;
  • 7) 0,250 030 521 303 870 036 16 × 2 = 0 + 0,500 061 042 607 740 072 32;
  • 8) 0,500 061 042 607 740 072 32 × 2 = 1 + 0,000 122 085 215 480 144 64;
  • 9) 0,000 122 085 215 480 144 64 × 2 = 0 + 0,000 244 170 430 960 289 28;
  • 10) 0,000 244 170 430 960 289 28 × 2 = 0 + 0,000 488 340 861 920 578 56;
  • 11) 0,000 488 340 861 920 578 56 × 2 = 0 + 0,000 976 681 723 841 157 12;
  • 12) 0,000 976 681 723 841 157 12 × 2 = 0 + 0,001 953 363 447 682 314 24;
  • 13) 0,001 953 363 447 682 314 24 × 2 = 0 + 0,003 906 726 895 364 628 48;
  • 14) 0,003 906 726 895 364 628 48 × 2 = 0 + 0,007 813 453 790 729 256 96;
  • 15) 0,007 813 453 790 729 256 96 × 2 = 0 + 0,015 626 907 581 458 513 92;
  • 16) 0,015 626 907 581 458 513 92 × 2 = 0 + 0,031 253 815 162 917 027 84;
  • 17) 0,031 253 815 162 917 027 84 × 2 = 0 + 0,062 507 630 325 834 055 68;
  • 18) 0,062 507 630 325 834 055 68 × 2 = 0 + 0,125 015 260 651 668 111 36;
  • 19) 0,125 015 260 651 668 111 36 × 2 = 0 + 0,250 030 521 303 336 222 72;
  • 20) 0,250 030 521 303 336 222 72 × 2 = 0 + 0,500 061 042 606 672 445 44;
  • 21) 0,500 061 042 606 672 445 44 × 2 = 1 + 0,000 122 085 213 344 890 88;
  • 22) 0,000 122 085 213 344 890 88 × 2 = 0 + 0,000 244 170 426 689 781 76;
  • 23) 0,000 244 170 426 689 781 76 × 2 = 0 + 0,000 488 340 853 379 563 52;
  • 24) 0,000 488 340 853 379 563 52 × 2 = 0 + 0,000 976 681 706 759 127 04;
  • 25) 0,000 976 681 706 759 127 04 × 2 = 0 + 0,001 953 363 413 518 254 08;
  • 26) 0,001 953 363 413 518 254 08 × 2 = 0 + 0,003 906 726 827 036 508 16;
  • 27) 0,003 906 726 827 036 508 16 × 2 = 0 + 0,007 813 453 654 073 016 32;
  • 28) 0,007 813 453 654 073 016 32 × 2 = 0 + 0,015 626 907 308 146 032 64;
  • 29) 0,015 626 907 308 146 032 64 × 2 = 0 + 0,031 253 814 616 292 065 28;
  • 30) 0,031 253 814 616 292 065 28 × 2 = 0 + 0,062 507 629 232 584 130 56;
  • 31) 0,062 507 629 232 584 130 56 × 2 = 0 + 0,125 015 258 465 168 261 12;
  • 32) 0,125 015 258 465 168 261 12 × 2 = 0 + 0,250 030 516 930 336 522 24;
  • 33) 0,250 030 516 930 336 522 24 × 2 = 0 + 0,500 061 033 860 673 044 48;
  • 34) 0,500 061 033 860 673 044 48 × 2 = 1 + 0,000 122 067 721 346 088 96;
  • 35) 0,000 122 067 721 346 088 96 × 2 = 0 + 0,000 244 135 442 692 177 92;
  • 36) 0,000 244 135 442 692 177 92 × 2 = 0 + 0,000 488 270 885 384 355 84;
  • 37) 0,000 488 270 885 384 355 84 × 2 = 0 + 0,000 976 541 770 768 711 68;
  • 38) 0,000 976 541 770 768 711 68 × 2 = 0 + 0,001 953 083 541 537 423 36;
  • 39) 0,001 953 083 541 537 423 36 × 2 = 0 + 0,003 906 167 083 074 846 72;
  • 40) 0,003 906 167 083 074 846 72 × 2 = 0 + 0,007 812 334 166 149 693 44;
  • 41) 0,007 812 334 166 149 693 44 × 2 = 0 + 0,015 624 668 332 299 386 88;
  • 42) 0,015 624 668 332 299 386 88 × 2 = 0 + 0,031 249 336 664 598 773 76;
  • 43) 0,031 249 336 664 598 773 76 × 2 = 0 + 0,062 498 673 329 197 547 52;
  • 44) 0,062 498 673 329 197 547 52 × 2 = 0 + 0,124 997 346 658 395 095 04;
  • 45) 0,124 997 346 658 395 095 04 × 2 = 0 + 0,249 994 693 316 790 190 08;
  • 46) 0,249 994 693 316 790 190 08 × 2 = 0 + 0,499 989 386 633 580 380 16;
  • 47) 0,499 989 386 633 580 380 16 × 2 = 0 + 0,999 978 773 267 160 760 32;
  • 48) 0,999 978 773 267 160 760 32 × 2 = 1 + 0,999 957 546 534 321 520 64;
  • 49) 0,999 957 546 534 321 520 64 × 2 = 1 + 0,999 915 093 068 643 041 28;
  • 50) 0,999 915 093 068 643 041 28 × 2 = 1 + 0,999 830 186 137 286 082 56;
  • 51) 0,999 830 186 137 286 082 56 × 2 = 1 + 0,999 660 372 274 572 165 12;
  • 52) 0,999 660 372 274 572 165 12 × 2 = 1 + 0,999 320 744 549 144 330 24;
  • 53) 0,999 320 744 549 144 330 24 × 2 = 1 + 0,998 641 489 098 288 660 48;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,003 906 726 895 372 969 315(10) =

0,0000 0001 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0100 0000 0000 0001 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

32,003 906 726 895 372 969 315(10) =

10 0000,0000 0001 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0100 0000 0000 0001 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 5 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


32,003 906 726 895 372 969 315(10) =

10 0000,0000 0001 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0100 0000 0000 0001 1111 1(2) =

10 0000,0000 0001 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0100 0000 0000 0001 1111 1(2) × 20 =

1,0000 0000 0000 1000 0000 0000 0100 0000 0000 0010 0000 0000 0000 1111 11(2) × 25


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 5

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0000 0000 1000 0000 0000 0100 0000 0000 0010 0000 0000 0000 1111 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

5 + 2(11-1) - 1 =

(5 + 1 023)(10) =

1 028(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 028 : 2 = 514 + 0;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1028(10) =

100 0000 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0100 0000 0000 0010 0000 0000 0000 11 1111 =

0000 0000 0000 1000 0000 0000 0100 0000 0000 0010 0000 0000 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0100

Mantisă (52 biți) =
0000 0000 0000 1000 0000 0000 0100 0000 0000 0010 0000 0000 0000


Numărul zecimal 32,003 906 726 895 372 969 315 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0100 - 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0100 0000 0000 0010 0000 0000 0000

Distribuie

» Scriere 32,003 906 726 895 372 969 37 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100