33,780 086 699 999 16 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 33,780 086 699 999 16(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
33,780 086 699 999 16(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 33.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 33 : 2 = 16 + 1;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

33(10) =

10 0001(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,780 086 699 999 16.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,780 086 699 999 16 × 2 = 1 + 0,560 173 399 998 32;
  • 2) 0,560 173 399 998 32 × 2 = 1 + 0,120 346 799 996 64;
  • 3) 0,120 346 799 996 64 × 2 = 0 + 0,240 693 599 993 28;
  • 4) 0,240 693 599 993 28 × 2 = 0 + 0,481 387 199 986 56;
  • 5) 0,481 387 199 986 56 × 2 = 0 + 0,962 774 399 973 12;
  • 6) 0,962 774 399 973 12 × 2 = 1 + 0,925 548 799 946 24;
  • 7) 0,925 548 799 946 24 × 2 = 1 + 0,851 097 599 892 48;
  • 8) 0,851 097 599 892 48 × 2 = 1 + 0,702 195 199 784 96;
  • 9) 0,702 195 199 784 96 × 2 = 1 + 0,404 390 399 569 92;
  • 10) 0,404 390 399 569 92 × 2 = 0 + 0,808 780 799 139 84;
  • 11) 0,808 780 799 139 84 × 2 = 1 + 0,617 561 598 279 68;
  • 12) 0,617 561 598 279 68 × 2 = 1 + 0,235 123 196 559 36;
  • 13) 0,235 123 196 559 36 × 2 = 0 + 0,470 246 393 118 72;
  • 14) 0,470 246 393 118 72 × 2 = 0 + 0,940 492 786 237 44;
  • 15) 0,940 492 786 237 44 × 2 = 1 + 0,880 985 572 474 88;
  • 16) 0,880 985 572 474 88 × 2 = 1 + 0,761 971 144 949 76;
  • 17) 0,761 971 144 949 76 × 2 = 1 + 0,523 942 289 899 52;
  • 18) 0,523 942 289 899 52 × 2 = 1 + 0,047 884 579 799 04;
  • 19) 0,047 884 579 799 04 × 2 = 0 + 0,095 769 159 598 08;
  • 20) 0,095 769 159 598 08 × 2 = 0 + 0,191 538 319 196 16;
  • 21) 0,191 538 319 196 16 × 2 = 0 + 0,383 076 638 392 32;
  • 22) 0,383 076 638 392 32 × 2 = 0 + 0,766 153 276 784 64;
  • 23) 0,766 153 276 784 64 × 2 = 1 + 0,532 306 553 569 28;
  • 24) 0,532 306 553 569 28 × 2 = 1 + 0,064 613 107 138 56;
  • 25) 0,064 613 107 138 56 × 2 = 0 + 0,129 226 214 277 12;
  • 26) 0,129 226 214 277 12 × 2 = 0 + 0,258 452 428 554 24;
  • 27) 0,258 452 428 554 24 × 2 = 0 + 0,516 904 857 108 48;
  • 28) 0,516 904 857 108 48 × 2 = 1 + 0,033 809 714 216 96;
  • 29) 0,033 809 714 216 96 × 2 = 0 + 0,067 619 428 433 92;
  • 30) 0,067 619 428 433 92 × 2 = 0 + 0,135 238 856 867 84;
  • 31) 0,135 238 856 867 84 × 2 = 0 + 0,270 477 713 735 68;
  • 32) 0,270 477 713 735 68 × 2 = 0 + 0,540 955 427 471 36;
  • 33) 0,540 955 427 471 36 × 2 = 1 + 0,081 910 854 942 72;
  • 34) 0,081 910 854 942 72 × 2 = 0 + 0,163 821 709 885 44;
  • 35) 0,163 821 709 885 44 × 2 = 0 + 0,327 643 419 770 88;
  • 36) 0,327 643 419 770 88 × 2 = 0 + 0,655 286 839 541 76;
  • 37) 0,655 286 839 541 76 × 2 = 1 + 0,310 573 679 083 52;
  • 38) 0,310 573 679 083 52 × 2 = 0 + 0,621 147 358 167 04;
  • 39) 0,621 147 358 167 04 × 2 = 1 + 0,242 294 716 334 08;
  • 40) 0,242 294 716 334 08 × 2 = 0 + 0,484 589 432 668 16;
  • 41) 0,484 589 432 668 16 × 2 = 0 + 0,969 178 865 336 32;
  • 42) 0,969 178 865 336 32 × 2 = 1 + 0,938 357 730 672 64;
  • 43) 0,938 357 730 672 64 × 2 = 1 + 0,876 715 461 345 28;
  • 44) 0,876 715 461 345 28 × 2 = 1 + 0,753 430 922 690 56;
  • 45) 0,753 430 922 690 56 × 2 = 1 + 0,506 861 845 381 12;
  • 46) 0,506 861 845 381 12 × 2 = 1 + 0,013 723 690 762 24;
  • 47) 0,013 723 690 762 24 × 2 = 0 + 0,027 447 381 524 48;
  • 48) 0,027 447 381 524 48 × 2 = 0 + 0,054 894 763 048 96;
  • 49) 0,054 894 763 048 96 × 2 = 0 + 0,109 789 526 097 92;
  • 50) 0,109 789 526 097 92 × 2 = 0 + 0,219 579 052 195 84;
  • 51) 0,219 579 052 195 84 × 2 = 0 + 0,439 158 104 391 68;
  • 52) 0,439 158 104 391 68 × 2 = 0 + 0,878 316 208 783 36;
  • 53) 0,878 316 208 783 36 × 2 = 1 + 0,756 632 417 566 72;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,780 086 699 999 16(10) =

0,1100 0111 1011 0011 1100 0011 0001 0000 1000 1010 0111 1100 0000 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

33,780 086 699 999 16(10) =

10 0001,1100 0111 1011 0011 1100 0011 0001 0000 1000 1010 0111 1100 0000 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 5 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


33,780 086 699 999 16(10) =

10 0001,1100 0111 1011 0011 1100 0011 0001 0000 1000 1010 0111 1100 0000 1(2) =

10 0001,1100 0111 1011 0011 1100 0011 0001 0000 1000 1010 0111 1100 0000 1(2) × 20 =

1,0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 0011 1110 0000 01(2) × 25


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 5

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 0011 1110 0000 01


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

5 + 2(11-1) - 1 =

(5 + 1 023)(10) =

1 028(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 028 : 2 = 514 + 0;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1028(10) =

100 0000 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 0011 1110 00 0001 =

0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 0011 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0100

Mantisă (52 biți) =
0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 0011 1110


Numărul zecimal 33,780 086 699 999 16 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0100 - 0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 0011 1110

Distribuie

» Scriere 33,780 086 699 998 34 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100