33,780 086 699 999 821 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 33,780 086 699 999 821(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
33,780 086 699 999 821(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 33.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 33 : 2 = 16 + 1;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

33(10) =

10 0001(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,780 086 699 999 821.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,780 086 699 999 821 × 2 = 1 + 0,560 173 399 999 642;
  • 2) 0,560 173 399 999 642 × 2 = 1 + 0,120 346 799 999 284;
  • 3) 0,120 346 799 999 284 × 2 = 0 + 0,240 693 599 998 568;
  • 4) 0,240 693 599 998 568 × 2 = 0 + 0,481 387 199 997 136;
  • 5) 0,481 387 199 997 136 × 2 = 0 + 0,962 774 399 994 272;
  • 6) 0,962 774 399 994 272 × 2 = 1 + 0,925 548 799 988 544;
  • 7) 0,925 548 799 988 544 × 2 = 1 + 0,851 097 599 977 088;
  • 8) 0,851 097 599 977 088 × 2 = 1 + 0,702 195 199 954 176;
  • 9) 0,702 195 199 954 176 × 2 = 1 + 0,404 390 399 908 352;
  • 10) 0,404 390 399 908 352 × 2 = 0 + 0,808 780 799 816 704;
  • 11) 0,808 780 799 816 704 × 2 = 1 + 0,617 561 599 633 408;
  • 12) 0,617 561 599 633 408 × 2 = 1 + 0,235 123 199 266 816;
  • 13) 0,235 123 199 266 816 × 2 = 0 + 0,470 246 398 533 632;
  • 14) 0,470 246 398 533 632 × 2 = 0 + 0,940 492 797 067 264;
  • 15) 0,940 492 797 067 264 × 2 = 1 + 0,880 985 594 134 528;
  • 16) 0,880 985 594 134 528 × 2 = 1 + 0,761 971 188 269 056;
  • 17) 0,761 971 188 269 056 × 2 = 1 + 0,523 942 376 538 112;
  • 18) 0,523 942 376 538 112 × 2 = 1 + 0,047 884 753 076 224;
  • 19) 0,047 884 753 076 224 × 2 = 0 + 0,095 769 506 152 448;
  • 20) 0,095 769 506 152 448 × 2 = 0 + 0,191 539 012 304 896;
  • 21) 0,191 539 012 304 896 × 2 = 0 + 0,383 078 024 609 792;
  • 22) 0,383 078 024 609 792 × 2 = 0 + 0,766 156 049 219 584;
  • 23) 0,766 156 049 219 584 × 2 = 1 + 0,532 312 098 439 168;
  • 24) 0,532 312 098 439 168 × 2 = 1 + 0,064 624 196 878 336;
  • 25) 0,064 624 196 878 336 × 2 = 0 + 0,129 248 393 756 672;
  • 26) 0,129 248 393 756 672 × 2 = 0 + 0,258 496 787 513 344;
  • 27) 0,258 496 787 513 344 × 2 = 0 + 0,516 993 575 026 688;
  • 28) 0,516 993 575 026 688 × 2 = 1 + 0,033 987 150 053 376;
  • 29) 0,033 987 150 053 376 × 2 = 0 + 0,067 974 300 106 752;
  • 30) 0,067 974 300 106 752 × 2 = 0 + 0,135 948 600 213 504;
  • 31) 0,135 948 600 213 504 × 2 = 0 + 0,271 897 200 427 008;
  • 32) 0,271 897 200 427 008 × 2 = 0 + 0,543 794 400 854 016;
  • 33) 0,543 794 400 854 016 × 2 = 1 + 0,087 588 801 708 032;
  • 34) 0,087 588 801 708 032 × 2 = 0 + 0,175 177 603 416 064;
  • 35) 0,175 177 603 416 064 × 2 = 0 + 0,350 355 206 832 128;
  • 36) 0,350 355 206 832 128 × 2 = 0 + 0,700 710 413 664 256;
  • 37) 0,700 710 413 664 256 × 2 = 1 + 0,401 420 827 328 512;
  • 38) 0,401 420 827 328 512 × 2 = 0 + 0,802 841 654 657 024;
  • 39) 0,802 841 654 657 024 × 2 = 1 + 0,605 683 309 314 048;
  • 40) 0,605 683 309 314 048 × 2 = 1 + 0,211 366 618 628 096;
  • 41) 0,211 366 618 628 096 × 2 = 0 + 0,422 733 237 256 192;
  • 42) 0,422 733 237 256 192 × 2 = 0 + 0,845 466 474 512 384;
  • 43) 0,845 466 474 512 384 × 2 = 1 + 0,690 932 949 024 768;
  • 44) 0,690 932 949 024 768 × 2 = 1 + 0,381 865 898 049 536;
  • 45) 0,381 865 898 049 536 × 2 = 0 + 0,763 731 796 099 072;
  • 46) 0,763 731 796 099 072 × 2 = 1 + 0,527 463 592 198 144;
  • 47) 0,527 463 592 198 144 × 2 = 1 + 0,054 927 184 396 288;
  • 48) 0,054 927 184 396 288 × 2 = 0 + 0,109 854 368 792 576;
  • 49) 0,109 854 368 792 576 × 2 = 0 + 0,219 708 737 585 152;
  • 50) 0,219 708 737 585 152 × 2 = 0 + 0,439 417 475 170 304;
  • 51) 0,439 417 475 170 304 × 2 = 0 + 0,878 834 950 340 608;
  • 52) 0,878 834 950 340 608 × 2 = 1 + 0,757 669 900 681 216;
  • 53) 0,757 669 900 681 216 × 2 = 1 + 0,515 339 801 362 432;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,780 086 699 999 821(10) =

0,1100 0111 1011 0011 1100 0011 0001 0000 1000 1011 0011 0110 0001 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

33,780 086 699 999 821(10) =

10 0001,1100 0111 1011 0011 1100 0011 0001 0000 1000 1011 0011 0110 0001 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 5 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


33,780 086 699 999 821(10) =

10 0001,1100 0111 1011 0011 1100 0011 0001 0000 1000 1011 0011 0110 0001 1(2) =

10 0001,1100 0111 1011 0011 1100 0011 0001 0000 1000 1011 0011 0110 0001 1(2) × 20 =

1,0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 1001 1011 0000 11(2) × 25


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 5

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 1001 1011 0000 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

5 + 2(11-1) - 1 =

(5 + 1 023)(10) =

1 028(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 028 : 2 = 514 + 0;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1028(10) =

100 0000 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 1001 1011 00 0011 =

0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 1001 1011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0100

Mantisă (52 biți) =
0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 1001 1011


Numărul zecimal 33,780 086 699 999 821 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0100 - 0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 1001 1011

Distribuie

» Scriere 33,780 086 699 999 731 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100