33,780 086 699 999 823 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 33,780 086 699 999 823(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
33,780 086 699 999 823(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 33.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 33 : 2 = 16 + 1;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

33(10) =

10 0001(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,780 086 699 999 823.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,780 086 699 999 823 × 2 = 1 + 0,560 173 399 999 646;
  • 2) 0,560 173 399 999 646 × 2 = 1 + 0,120 346 799 999 292;
  • 3) 0,120 346 799 999 292 × 2 = 0 + 0,240 693 599 998 584;
  • 4) 0,240 693 599 998 584 × 2 = 0 + 0,481 387 199 997 168;
  • 5) 0,481 387 199 997 168 × 2 = 0 + 0,962 774 399 994 336;
  • 6) 0,962 774 399 994 336 × 2 = 1 + 0,925 548 799 988 672;
  • 7) 0,925 548 799 988 672 × 2 = 1 + 0,851 097 599 977 344;
  • 8) 0,851 097 599 977 344 × 2 = 1 + 0,702 195 199 954 688;
  • 9) 0,702 195 199 954 688 × 2 = 1 + 0,404 390 399 909 376;
  • 10) 0,404 390 399 909 376 × 2 = 0 + 0,808 780 799 818 752;
  • 11) 0,808 780 799 818 752 × 2 = 1 + 0,617 561 599 637 504;
  • 12) 0,617 561 599 637 504 × 2 = 1 + 0,235 123 199 275 008;
  • 13) 0,235 123 199 275 008 × 2 = 0 + 0,470 246 398 550 016;
  • 14) 0,470 246 398 550 016 × 2 = 0 + 0,940 492 797 100 032;
  • 15) 0,940 492 797 100 032 × 2 = 1 + 0,880 985 594 200 064;
  • 16) 0,880 985 594 200 064 × 2 = 1 + 0,761 971 188 400 128;
  • 17) 0,761 971 188 400 128 × 2 = 1 + 0,523 942 376 800 256;
  • 18) 0,523 942 376 800 256 × 2 = 1 + 0,047 884 753 600 512;
  • 19) 0,047 884 753 600 512 × 2 = 0 + 0,095 769 507 201 024;
  • 20) 0,095 769 507 201 024 × 2 = 0 + 0,191 539 014 402 048;
  • 21) 0,191 539 014 402 048 × 2 = 0 + 0,383 078 028 804 096;
  • 22) 0,383 078 028 804 096 × 2 = 0 + 0,766 156 057 608 192;
  • 23) 0,766 156 057 608 192 × 2 = 1 + 0,532 312 115 216 384;
  • 24) 0,532 312 115 216 384 × 2 = 1 + 0,064 624 230 432 768;
  • 25) 0,064 624 230 432 768 × 2 = 0 + 0,129 248 460 865 536;
  • 26) 0,129 248 460 865 536 × 2 = 0 + 0,258 496 921 731 072;
  • 27) 0,258 496 921 731 072 × 2 = 0 + 0,516 993 843 462 144;
  • 28) 0,516 993 843 462 144 × 2 = 1 + 0,033 987 686 924 288;
  • 29) 0,033 987 686 924 288 × 2 = 0 + 0,067 975 373 848 576;
  • 30) 0,067 975 373 848 576 × 2 = 0 + 0,135 950 747 697 152;
  • 31) 0,135 950 747 697 152 × 2 = 0 + 0,271 901 495 394 304;
  • 32) 0,271 901 495 394 304 × 2 = 0 + 0,543 802 990 788 608;
  • 33) 0,543 802 990 788 608 × 2 = 1 + 0,087 605 981 577 216;
  • 34) 0,087 605 981 577 216 × 2 = 0 + 0,175 211 963 154 432;
  • 35) 0,175 211 963 154 432 × 2 = 0 + 0,350 423 926 308 864;
  • 36) 0,350 423 926 308 864 × 2 = 0 + 0,700 847 852 617 728;
  • 37) 0,700 847 852 617 728 × 2 = 1 + 0,401 695 705 235 456;
  • 38) 0,401 695 705 235 456 × 2 = 0 + 0,803 391 410 470 912;
  • 39) 0,803 391 410 470 912 × 2 = 1 + 0,606 782 820 941 824;
  • 40) 0,606 782 820 941 824 × 2 = 1 + 0,213 565 641 883 648;
  • 41) 0,213 565 641 883 648 × 2 = 0 + 0,427 131 283 767 296;
  • 42) 0,427 131 283 767 296 × 2 = 0 + 0,854 262 567 534 592;
  • 43) 0,854 262 567 534 592 × 2 = 1 + 0,708 525 135 069 184;
  • 44) 0,708 525 135 069 184 × 2 = 1 + 0,417 050 270 138 368;
  • 45) 0,417 050 270 138 368 × 2 = 0 + 0,834 100 540 276 736;
  • 46) 0,834 100 540 276 736 × 2 = 1 + 0,668 201 080 553 472;
  • 47) 0,668 201 080 553 472 × 2 = 1 + 0,336 402 161 106 944;
  • 48) 0,336 402 161 106 944 × 2 = 0 + 0,672 804 322 213 888;
  • 49) 0,672 804 322 213 888 × 2 = 1 + 0,345 608 644 427 776;
  • 50) 0,345 608 644 427 776 × 2 = 0 + 0,691 217 288 855 552;
  • 51) 0,691 217 288 855 552 × 2 = 1 + 0,382 434 577 711 104;
  • 52) 0,382 434 577 711 104 × 2 = 0 + 0,764 869 155 422 208;
  • 53) 0,764 869 155 422 208 × 2 = 1 + 0,529 738 310 844 416;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,780 086 699 999 823(10) =

0,1100 0111 1011 0011 1100 0011 0001 0000 1000 1011 0011 0110 1010 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

33,780 086 699 999 823(10) =

10 0001,1100 0111 1011 0011 1100 0011 0001 0000 1000 1011 0011 0110 1010 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 5 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


33,780 086 699 999 823(10) =

10 0001,1100 0111 1011 0011 1100 0011 0001 0000 1000 1011 0011 0110 1010 1(2) =

10 0001,1100 0111 1011 0011 1100 0011 0001 0000 1000 1011 0011 0110 1010 1(2) × 20 =

1,0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 1001 1011 0101 01(2) × 25


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 5

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 1001 1011 0101 01


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

5 + 2(11-1) - 1 =

(5 + 1 023)(10) =

1 028(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 028 : 2 = 514 + 0;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1028(10) =

100 0000 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 1001 1011 01 0101 =

0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 1001 1011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0100

Mantisă (52 biți) =
0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 1001 1011


Numărul zecimal 33,780 086 699 999 823 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0100 - 0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 1001 1011

Distribuie

» Scriere 33,780 086 699 999 857 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100