33,780 086 699 999 861 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 33,780 086 699 999 861(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
33,780 086 699 999 861(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 33.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 33 : 2 = 16 + 1;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

33(10) =

10 0001(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,780 086 699 999 861.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,780 086 699 999 861 × 2 = 1 + 0,560 173 399 999 722;
  • 2) 0,560 173 399 999 722 × 2 = 1 + 0,120 346 799 999 444;
  • 3) 0,120 346 799 999 444 × 2 = 0 + 0,240 693 599 998 888;
  • 4) 0,240 693 599 998 888 × 2 = 0 + 0,481 387 199 997 776;
  • 5) 0,481 387 199 997 776 × 2 = 0 + 0,962 774 399 995 552;
  • 6) 0,962 774 399 995 552 × 2 = 1 + 0,925 548 799 991 104;
  • 7) 0,925 548 799 991 104 × 2 = 1 + 0,851 097 599 982 208;
  • 8) 0,851 097 599 982 208 × 2 = 1 + 0,702 195 199 964 416;
  • 9) 0,702 195 199 964 416 × 2 = 1 + 0,404 390 399 928 832;
  • 10) 0,404 390 399 928 832 × 2 = 0 + 0,808 780 799 857 664;
  • 11) 0,808 780 799 857 664 × 2 = 1 + 0,617 561 599 715 328;
  • 12) 0,617 561 599 715 328 × 2 = 1 + 0,235 123 199 430 656;
  • 13) 0,235 123 199 430 656 × 2 = 0 + 0,470 246 398 861 312;
  • 14) 0,470 246 398 861 312 × 2 = 0 + 0,940 492 797 722 624;
  • 15) 0,940 492 797 722 624 × 2 = 1 + 0,880 985 595 445 248;
  • 16) 0,880 985 595 445 248 × 2 = 1 + 0,761 971 190 890 496;
  • 17) 0,761 971 190 890 496 × 2 = 1 + 0,523 942 381 780 992;
  • 18) 0,523 942 381 780 992 × 2 = 1 + 0,047 884 763 561 984;
  • 19) 0,047 884 763 561 984 × 2 = 0 + 0,095 769 527 123 968;
  • 20) 0,095 769 527 123 968 × 2 = 0 + 0,191 539 054 247 936;
  • 21) 0,191 539 054 247 936 × 2 = 0 + 0,383 078 108 495 872;
  • 22) 0,383 078 108 495 872 × 2 = 0 + 0,766 156 216 991 744;
  • 23) 0,766 156 216 991 744 × 2 = 1 + 0,532 312 433 983 488;
  • 24) 0,532 312 433 983 488 × 2 = 1 + 0,064 624 867 966 976;
  • 25) 0,064 624 867 966 976 × 2 = 0 + 0,129 249 735 933 952;
  • 26) 0,129 249 735 933 952 × 2 = 0 + 0,258 499 471 867 904;
  • 27) 0,258 499 471 867 904 × 2 = 0 + 0,516 998 943 735 808;
  • 28) 0,516 998 943 735 808 × 2 = 1 + 0,033 997 887 471 616;
  • 29) 0,033 997 887 471 616 × 2 = 0 + 0,067 995 774 943 232;
  • 30) 0,067 995 774 943 232 × 2 = 0 + 0,135 991 549 886 464;
  • 31) 0,135 991 549 886 464 × 2 = 0 + 0,271 983 099 772 928;
  • 32) 0,271 983 099 772 928 × 2 = 0 + 0,543 966 199 545 856;
  • 33) 0,543 966 199 545 856 × 2 = 1 + 0,087 932 399 091 712;
  • 34) 0,087 932 399 091 712 × 2 = 0 + 0,175 864 798 183 424;
  • 35) 0,175 864 798 183 424 × 2 = 0 + 0,351 729 596 366 848;
  • 36) 0,351 729 596 366 848 × 2 = 0 + 0,703 459 192 733 696;
  • 37) 0,703 459 192 733 696 × 2 = 1 + 0,406 918 385 467 392;
  • 38) 0,406 918 385 467 392 × 2 = 0 + 0,813 836 770 934 784;
  • 39) 0,813 836 770 934 784 × 2 = 1 + 0,627 673 541 869 568;
  • 40) 0,627 673 541 869 568 × 2 = 1 + 0,255 347 083 739 136;
  • 41) 0,255 347 083 739 136 × 2 = 0 + 0,510 694 167 478 272;
  • 42) 0,510 694 167 478 272 × 2 = 1 + 0,021 388 334 956 544;
  • 43) 0,021 388 334 956 544 × 2 = 0 + 0,042 776 669 913 088;
  • 44) 0,042 776 669 913 088 × 2 = 0 + 0,085 553 339 826 176;
  • 45) 0,085 553 339 826 176 × 2 = 0 + 0,171 106 679 652 352;
  • 46) 0,171 106 679 652 352 × 2 = 0 + 0,342 213 359 304 704;
  • 47) 0,342 213 359 304 704 × 2 = 0 + 0,684 426 718 609 408;
  • 48) 0,684 426 718 609 408 × 2 = 1 + 0,368 853 437 218 816;
  • 49) 0,368 853 437 218 816 × 2 = 0 + 0,737 706 874 437 632;
  • 50) 0,737 706 874 437 632 × 2 = 1 + 0,475 413 748 875 264;
  • 51) 0,475 413 748 875 264 × 2 = 0 + 0,950 827 497 750 528;
  • 52) 0,950 827 497 750 528 × 2 = 1 + 0,901 654 995 501 056;
  • 53) 0,901 654 995 501 056 × 2 = 1 + 0,803 309 991 002 112;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,780 086 699 999 861(10) =

0,1100 0111 1011 0011 1100 0011 0001 0000 1000 1011 0100 0001 0101 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

33,780 086 699 999 861(10) =

10 0001,1100 0111 1011 0011 1100 0011 0001 0000 1000 1011 0100 0001 0101 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 5 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


33,780 086 699 999 861(10) =

10 0001,1100 0111 1011 0011 1100 0011 0001 0000 1000 1011 0100 0001 0101 1(2) =

10 0001,1100 0111 1011 0011 1100 0011 0001 0000 1000 1011 0100 0001 0101 1(2) × 20 =

1,0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 1010 0000 1010 11(2) × 25


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 5

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 1010 0000 1010 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

5 + 2(11-1) - 1 =

(5 + 1 023)(10) =

1 028(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 028 : 2 = 514 + 0;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1028(10) =

100 0000 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 1010 0000 10 1011 =

0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 1010 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0100

Mantisă (52 biți) =
0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 1010 0000


Numărul zecimal 33,780 086 699 999 861 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0100 - 0000 1110 0011 1101 1001 1110 0001 1000 1000 0100 0101 1010 0000

Distribuie

» Scriere 33,780 086 699 999 905 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100