38,811 999 999 999 997 612 578 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 38,811 999 999 999 997 612 578 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
38,811 999 999 999 997 612 578 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 38.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 38 : 2 = 19 + 0;
  • 19 : 2 = 9 + 1;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

38(10) =

10 0110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,811 999 999 999 997 612 578 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,811 999 999 999 997 612 578 7 × 2 = 1 + 0,623 999 999 999 995 225 157 4;
  • 2) 0,623 999 999 999 995 225 157 4 × 2 = 1 + 0,247 999 999 999 990 450 314 8;
  • 3) 0,247 999 999 999 990 450 314 8 × 2 = 0 + 0,495 999 999 999 980 900 629 6;
  • 4) 0,495 999 999 999 980 900 629 6 × 2 = 0 + 0,991 999 999 999 961 801 259 2;
  • 5) 0,991 999 999 999 961 801 259 2 × 2 = 1 + 0,983 999 999 999 923 602 518 4;
  • 6) 0,983 999 999 999 923 602 518 4 × 2 = 1 + 0,967 999 999 999 847 205 036 8;
  • 7) 0,967 999 999 999 847 205 036 8 × 2 = 1 + 0,935 999 999 999 694 410 073 6;
  • 8) 0,935 999 999 999 694 410 073 6 × 2 = 1 + 0,871 999 999 999 388 820 147 2;
  • 9) 0,871 999 999 999 388 820 147 2 × 2 = 1 + 0,743 999 999 998 777 640 294 4;
  • 10) 0,743 999 999 998 777 640 294 4 × 2 = 1 + 0,487 999 999 997 555 280 588 8;
  • 11) 0,487 999 999 997 555 280 588 8 × 2 = 0 + 0,975 999 999 995 110 561 177 6;
  • 12) 0,975 999 999 995 110 561 177 6 × 2 = 1 + 0,951 999 999 990 221 122 355 2;
  • 13) 0,951 999 999 990 221 122 355 2 × 2 = 1 + 0,903 999 999 980 442 244 710 4;
  • 14) 0,903 999 999 980 442 244 710 4 × 2 = 1 + 0,807 999 999 960 884 489 420 8;
  • 15) 0,807 999 999 960 884 489 420 8 × 2 = 1 + 0,615 999 999 921 768 978 841 6;
  • 16) 0,615 999 999 921 768 978 841 6 × 2 = 1 + 0,231 999 999 843 537 957 683 2;
  • 17) 0,231 999 999 843 537 957 683 2 × 2 = 0 + 0,463 999 999 687 075 915 366 4;
  • 18) 0,463 999 999 687 075 915 366 4 × 2 = 0 + 0,927 999 999 374 151 830 732 8;
  • 19) 0,927 999 999 374 151 830 732 8 × 2 = 1 + 0,855 999 998 748 303 661 465 6;
  • 20) 0,855 999 998 748 303 661 465 6 × 2 = 1 + 0,711 999 997 496 607 322 931 2;
  • 21) 0,711 999 997 496 607 322 931 2 × 2 = 1 + 0,423 999 994 993 214 645 862 4;
  • 22) 0,423 999 994 993 214 645 862 4 × 2 = 0 + 0,847 999 989 986 429 291 724 8;
  • 23) 0,847 999 989 986 429 291 724 8 × 2 = 1 + 0,695 999 979 972 858 583 449 6;
  • 24) 0,695 999 979 972 858 583 449 6 × 2 = 1 + 0,391 999 959 945 717 166 899 2;
  • 25) 0,391 999 959 945 717 166 899 2 × 2 = 0 + 0,783 999 919 891 434 333 798 4;
  • 26) 0,783 999 919 891 434 333 798 4 × 2 = 1 + 0,567 999 839 782 868 667 596 8;
  • 27) 0,567 999 839 782 868 667 596 8 × 2 = 1 + 0,135 999 679 565 737 335 193 6;
  • 28) 0,135 999 679 565 737 335 193 6 × 2 = 0 + 0,271 999 359 131 474 670 387 2;
  • 29) 0,271 999 359 131 474 670 387 2 × 2 = 0 + 0,543 998 718 262 949 340 774 4;
  • 30) 0,543 998 718 262 949 340 774 4 × 2 = 1 + 0,087 997 436 525 898 681 548 8;
  • 31) 0,087 997 436 525 898 681 548 8 × 2 = 0 + 0,175 994 873 051 797 363 097 6;
  • 32) 0,175 994 873 051 797 363 097 6 × 2 = 0 + 0,351 989 746 103 594 726 195 2;
  • 33) 0,351 989 746 103 594 726 195 2 × 2 = 0 + 0,703 979 492 207 189 452 390 4;
  • 34) 0,703 979 492 207 189 452 390 4 × 2 = 1 + 0,407 958 984 414 378 904 780 8;
  • 35) 0,407 958 984 414 378 904 780 8 × 2 = 0 + 0,815 917 968 828 757 809 561 6;
  • 36) 0,815 917 968 828 757 809 561 6 × 2 = 1 + 0,631 835 937 657 515 619 123 2;
  • 37) 0,631 835 937 657 515 619 123 2 × 2 = 1 + 0,263 671 875 315 031 238 246 4;
  • 38) 0,263 671 875 315 031 238 246 4 × 2 = 0 + 0,527 343 750 630 062 476 492 8;
  • 39) 0,527 343 750 630 062 476 492 8 × 2 = 1 + 0,054 687 501 260 124 952 985 6;
  • 40) 0,054 687 501 260 124 952 985 6 × 2 = 0 + 0,109 375 002 520 249 905 971 2;
  • 41) 0,109 375 002 520 249 905 971 2 × 2 = 0 + 0,218 750 005 040 499 811 942 4;
  • 42) 0,218 750 005 040 499 811 942 4 × 2 = 0 + 0,437 500 010 080 999 623 884 8;
  • 43) 0,437 500 010 080 999 623 884 8 × 2 = 0 + 0,875 000 020 161 999 247 769 6;
  • 44) 0,875 000 020 161 999 247 769 6 × 2 = 1 + 0,750 000 040 323 998 495 539 2;
  • 45) 0,750 000 040 323 998 495 539 2 × 2 = 1 + 0,500 000 080 647 996 991 078 4;
  • 46) 0,500 000 080 647 996 991 078 4 × 2 = 1 + 0,000 000 161 295 993 982 156 8;
  • 47) 0,000 000 161 295 993 982 156 8 × 2 = 0 + 0,000 000 322 591 987 964 313 6;
  • 48) 0,000 000 322 591 987 964 313 6 × 2 = 0 + 0,000 000 645 183 975 928 627 2;
  • 49) 0,000 000 645 183 975 928 627 2 × 2 = 0 + 0,000 001 290 367 951 857 254 4;
  • 50) 0,000 001 290 367 951 857 254 4 × 2 = 0 + 0,000 002 580 735 903 714 508 8;
  • 51) 0,000 002 580 735 903 714 508 8 × 2 = 0 + 0,000 005 161 471 807 429 017 6;
  • 52) 0,000 005 161 471 807 429 017 6 × 2 = 0 + 0,000 010 322 943 614 858 035 2;
  • 53) 0,000 010 322 943 614 858 035 2 × 2 = 0 + 0,000 020 645 887 229 716 070 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,811 999 999 999 997 612 578 7(10) =

0,1100 1111 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1100 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

38,811 999 999 999 997 612 578 7(10) =

10 0110,1100 1111 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1100 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 5 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


38,811 999 999 999 997 612 578 7(10) =

10 0110,1100 1111 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1100 0000 0(2) =

10 0110,1100 1111 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1100 0000 0(2) × 20 =

1,0011 0110 0111 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1110 0000 00(2) × 25


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 5

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0110 0111 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1110 0000 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

5 + 2(11-1) - 1 =

(5 + 1 023)(10) =

1 028(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 028 : 2 = 514 + 0;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1028(10) =

100 0000 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0110 0111 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1110 00 0000 =

0011 0110 0111 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0100

Mantisă (52 biți) =
0011 0110 0111 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1110


Numărul zecimal 38,811 999 999 999 997 612 578 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0100 - 0011 0110 0111 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1110

Distribuie

» Scriere 38,811 999 999 999 997 612 574 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100