38,811 999 999 999 997 612 582 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 38,811 999 999 999 997 612 582 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
38,811 999 999 999 997 612 582 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 38.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 38 : 2 = 19 + 0;
  • 19 : 2 = 9 + 1;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

38(10) =

10 0110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,811 999 999 999 997 612 582 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,811 999 999 999 997 612 582 2 × 2 = 1 + 0,623 999 999 999 995 225 164 4;
  • 2) 0,623 999 999 999 995 225 164 4 × 2 = 1 + 0,247 999 999 999 990 450 328 8;
  • 3) 0,247 999 999 999 990 450 328 8 × 2 = 0 + 0,495 999 999 999 980 900 657 6;
  • 4) 0,495 999 999 999 980 900 657 6 × 2 = 0 + 0,991 999 999 999 961 801 315 2;
  • 5) 0,991 999 999 999 961 801 315 2 × 2 = 1 + 0,983 999 999 999 923 602 630 4;
  • 6) 0,983 999 999 999 923 602 630 4 × 2 = 1 + 0,967 999 999 999 847 205 260 8;
  • 7) 0,967 999 999 999 847 205 260 8 × 2 = 1 + 0,935 999 999 999 694 410 521 6;
  • 8) 0,935 999 999 999 694 410 521 6 × 2 = 1 + 0,871 999 999 999 388 821 043 2;
  • 9) 0,871 999 999 999 388 821 043 2 × 2 = 1 + 0,743 999 999 998 777 642 086 4;
  • 10) 0,743 999 999 998 777 642 086 4 × 2 = 1 + 0,487 999 999 997 555 284 172 8;
  • 11) 0,487 999 999 997 555 284 172 8 × 2 = 0 + 0,975 999 999 995 110 568 345 6;
  • 12) 0,975 999 999 995 110 568 345 6 × 2 = 1 + 0,951 999 999 990 221 136 691 2;
  • 13) 0,951 999 999 990 221 136 691 2 × 2 = 1 + 0,903 999 999 980 442 273 382 4;
  • 14) 0,903 999 999 980 442 273 382 4 × 2 = 1 + 0,807 999 999 960 884 546 764 8;
  • 15) 0,807 999 999 960 884 546 764 8 × 2 = 1 + 0,615 999 999 921 769 093 529 6;
  • 16) 0,615 999 999 921 769 093 529 6 × 2 = 1 + 0,231 999 999 843 538 187 059 2;
  • 17) 0,231 999 999 843 538 187 059 2 × 2 = 0 + 0,463 999 999 687 076 374 118 4;
  • 18) 0,463 999 999 687 076 374 118 4 × 2 = 0 + 0,927 999 999 374 152 748 236 8;
  • 19) 0,927 999 999 374 152 748 236 8 × 2 = 1 + 0,855 999 998 748 305 496 473 6;
  • 20) 0,855 999 998 748 305 496 473 6 × 2 = 1 + 0,711 999 997 496 610 992 947 2;
  • 21) 0,711 999 997 496 610 992 947 2 × 2 = 1 + 0,423 999 994 993 221 985 894 4;
  • 22) 0,423 999 994 993 221 985 894 4 × 2 = 0 + 0,847 999 989 986 443 971 788 8;
  • 23) 0,847 999 989 986 443 971 788 8 × 2 = 1 + 0,695 999 979 972 887 943 577 6;
  • 24) 0,695 999 979 972 887 943 577 6 × 2 = 1 + 0,391 999 959 945 775 887 155 2;
  • 25) 0,391 999 959 945 775 887 155 2 × 2 = 0 + 0,783 999 919 891 551 774 310 4;
  • 26) 0,783 999 919 891 551 774 310 4 × 2 = 1 + 0,567 999 839 783 103 548 620 8;
  • 27) 0,567 999 839 783 103 548 620 8 × 2 = 1 + 0,135 999 679 566 207 097 241 6;
  • 28) 0,135 999 679 566 207 097 241 6 × 2 = 0 + 0,271 999 359 132 414 194 483 2;
  • 29) 0,271 999 359 132 414 194 483 2 × 2 = 0 + 0,543 998 718 264 828 388 966 4;
  • 30) 0,543 998 718 264 828 388 966 4 × 2 = 1 + 0,087 997 436 529 656 777 932 8;
  • 31) 0,087 997 436 529 656 777 932 8 × 2 = 0 + 0,175 994 873 059 313 555 865 6;
  • 32) 0,175 994 873 059 313 555 865 6 × 2 = 0 + 0,351 989 746 118 627 111 731 2;
  • 33) 0,351 989 746 118 627 111 731 2 × 2 = 0 + 0,703 979 492 237 254 223 462 4;
  • 34) 0,703 979 492 237 254 223 462 4 × 2 = 1 + 0,407 958 984 474 508 446 924 8;
  • 35) 0,407 958 984 474 508 446 924 8 × 2 = 0 + 0,815 917 968 949 016 893 849 6;
  • 36) 0,815 917 968 949 016 893 849 6 × 2 = 1 + 0,631 835 937 898 033 787 699 2;
  • 37) 0,631 835 937 898 033 787 699 2 × 2 = 1 + 0,263 671 875 796 067 575 398 4;
  • 38) 0,263 671 875 796 067 575 398 4 × 2 = 0 + 0,527 343 751 592 135 150 796 8;
  • 39) 0,527 343 751 592 135 150 796 8 × 2 = 1 + 0,054 687 503 184 270 301 593 6;
  • 40) 0,054 687 503 184 270 301 593 6 × 2 = 0 + 0,109 375 006 368 540 603 187 2;
  • 41) 0,109 375 006 368 540 603 187 2 × 2 = 0 + 0,218 750 012 737 081 206 374 4;
  • 42) 0,218 750 012 737 081 206 374 4 × 2 = 0 + 0,437 500 025 474 162 412 748 8;
  • 43) 0,437 500 025 474 162 412 748 8 × 2 = 0 + 0,875 000 050 948 324 825 497 6;
  • 44) 0,875 000 050 948 324 825 497 6 × 2 = 1 + 0,750 000 101 896 649 650 995 2;
  • 45) 0,750 000 101 896 649 650 995 2 × 2 = 1 + 0,500 000 203 793 299 301 990 4;
  • 46) 0,500 000 203 793 299 301 990 4 × 2 = 1 + 0,000 000 407 586 598 603 980 8;
  • 47) 0,000 000 407 586 598 603 980 8 × 2 = 0 + 0,000 000 815 173 197 207 961 6;
  • 48) 0,000 000 815 173 197 207 961 6 × 2 = 0 + 0,000 001 630 346 394 415 923 2;
  • 49) 0,000 001 630 346 394 415 923 2 × 2 = 0 + 0,000 003 260 692 788 831 846 4;
  • 50) 0,000 003 260 692 788 831 846 4 × 2 = 0 + 0,000 006 521 385 577 663 692 8;
  • 51) 0,000 006 521 385 577 663 692 8 × 2 = 0 + 0,000 013 042 771 155 327 385 6;
  • 52) 0,000 013 042 771 155 327 385 6 × 2 = 0 + 0,000 026 085 542 310 654 771 2;
  • 53) 0,000 026 085 542 310 654 771 2 × 2 = 0 + 0,000 052 171 084 621 309 542 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,811 999 999 999 997 612 582 2(10) =

0,1100 1111 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1100 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

38,811 999 999 999 997 612 582 2(10) =

10 0110,1100 1111 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1100 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 5 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


38,811 999 999 999 997 612 582 2(10) =

10 0110,1100 1111 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1100 0000 0(2) =

10 0110,1100 1111 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1100 0000 0(2) × 20 =

1,0011 0110 0111 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1110 0000 00(2) × 25


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 5

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0110 0111 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1110 0000 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

5 + 2(11-1) - 1 =

(5 + 1 023)(10) =

1 028(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 028 : 2 = 514 + 0;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1028(10) =

100 0000 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0110 0111 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1110 00 0000 =

0011 0110 0111 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0100

Mantisă (52 biți) =
0011 0110 0111 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1110


Numărul zecimal 38,811 999 999 999 997 612 582 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0100 - 0011 0110 0111 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1110

Distribuie

» Scriere 38,811 999 999 999 997 612 588 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100