390,000 000 000 000 755 835 89 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 390,000 000 000 000 755 835 89(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
390,000 000 000 000 755 835 89(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 390.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 390 : 2 = 195 + 0;
  • 195 : 2 = 97 + 1;
  • 97 : 2 = 48 + 1;
  • 48 : 2 = 24 + 0;
  • 24 : 2 = 12 + 0;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

390(10) =

1 1000 0110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 755 835 89.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 755 835 89 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 511 671 78;
  • 2) 0,000 000 000 001 511 671 78 × 2 = 0 + 0,000 000 000 003 023 343 56;
  • 3) 0,000 000 000 003 023 343 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 006 046 687 12;
  • 4) 0,000 000 000 006 046 687 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 012 093 374 24;
  • 5) 0,000 000 000 012 093 374 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 024 186 748 48;
  • 6) 0,000 000 000 024 186 748 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 048 373 496 96;
  • 7) 0,000 000 000 048 373 496 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 096 746 993 92;
  • 8) 0,000 000 000 096 746 993 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 193 493 987 84;
  • 9) 0,000 000 000 193 493 987 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 386 987 975 68;
  • 10) 0,000 000 000 386 987 975 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 773 975 951 36;
  • 11) 0,000 000 000 773 975 951 36 × 2 = 0 + 0,000 000 001 547 951 902 72;
  • 12) 0,000 000 001 547 951 902 72 × 2 = 0 + 0,000 000 003 095 903 805 44;
  • 13) 0,000 000 003 095 903 805 44 × 2 = 0 + 0,000 000 006 191 807 610 88;
  • 14) 0,000 000 006 191 807 610 88 × 2 = 0 + 0,000 000 012 383 615 221 76;
  • 15) 0,000 000 012 383 615 221 76 × 2 = 0 + 0,000 000 024 767 230 443 52;
  • 16) 0,000 000 024 767 230 443 52 × 2 = 0 + 0,000 000 049 534 460 887 04;
  • 17) 0,000 000 049 534 460 887 04 × 2 = 0 + 0,000 000 099 068 921 774 08;
  • 18) 0,000 000 099 068 921 774 08 × 2 = 0 + 0,000 000 198 137 843 548 16;
  • 19) 0,000 000 198 137 843 548 16 × 2 = 0 + 0,000 000 396 275 687 096 32;
  • 20) 0,000 000 396 275 687 096 32 × 2 = 0 + 0,000 000 792 551 374 192 64;
  • 21) 0,000 000 792 551 374 192 64 × 2 = 0 + 0,000 001 585 102 748 385 28;
  • 22) 0,000 001 585 102 748 385 28 × 2 = 0 + 0,000 003 170 205 496 770 56;
  • 23) 0,000 003 170 205 496 770 56 × 2 = 0 + 0,000 006 340 410 993 541 12;
  • 24) 0,000 006 340 410 993 541 12 × 2 = 0 + 0,000 012 680 821 987 082 24;
  • 25) 0,000 012 680 821 987 082 24 × 2 = 0 + 0,000 025 361 643 974 164 48;
  • 26) 0,000 025 361 643 974 164 48 × 2 = 0 + 0,000 050 723 287 948 328 96;
  • 27) 0,000 050 723 287 948 328 96 × 2 = 0 + 0,000 101 446 575 896 657 92;
  • 28) 0,000 101 446 575 896 657 92 × 2 = 0 + 0,000 202 893 151 793 315 84;
  • 29) 0,000 202 893 151 793 315 84 × 2 = 0 + 0,000 405 786 303 586 631 68;
  • 30) 0,000 405 786 303 586 631 68 × 2 = 0 + 0,000 811 572 607 173 263 36;
  • 31) 0,000 811 572 607 173 263 36 × 2 = 0 + 0,001 623 145 214 346 526 72;
  • 32) 0,001 623 145 214 346 526 72 × 2 = 0 + 0,003 246 290 428 693 053 44;
  • 33) 0,003 246 290 428 693 053 44 × 2 = 0 + 0,006 492 580 857 386 106 88;
  • 34) 0,006 492 580 857 386 106 88 × 2 = 0 + 0,012 985 161 714 772 213 76;
  • 35) 0,012 985 161 714 772 213 76 × 2 = 0 + 0,025 970 323 429 544 427 52;
  • 36) 0,025 970 323 429 544 427 52 × 2 = 0 + 0,051 940 646 859 088 855 04;
  • 37) 0,051 940 646 859 088 855 04 × 2 = 0 + 0,103 881 293 718 177 710 08;
  • 38) 0,103 881 293 718 177 710 08 × 2 = 0 + 0,207 762 587 436 355 420 16;
  • 39) 0,207 762 587 436 355 420 16 × 2 = 0 + 0,415 525 174 872 710 840 32;
  • 40) 0,415 525 174 872 710 840 32 × 2 = 0 + 0,831 050 349 745 421 680 64;
  • 41) 0,831 050 349 745 421 680 64 × 2 = 1 + 0,662 100 699 490 843 361 28;
  • 42) 0,662 100 699 490 843 361 28 × 2 = 1 + 0,324 201 398 981 686 722 56;
  • 43) 0,324 201 398 981 686 722 56 × 2 = 0 + 0,648 402 797 963 373 445 12;
  • 44) 0,648 402 797 963 373 445 12 × 2 = 1 + 0,296 805 595 926 746 890 24;
  • 45) 0,296 805 595 926 746 890 24 × 2 = 0 + 0,593 611 191 853 493 780 48;
  • 46) 0,593 611 191 853 493 780 48 × 2 = 1 + 0,187 222 383 706 987 560 96;
  • 47) 0,187 222 383 706 987 560 96 × 2 = 0 + 0,374 444 767 413 975 121 92;
  • 48) 0,374 444 767 413 975 121 92 × 2 = 0 + 0,748 889 534 827 950 243 84;
  • 49) 0,748 889 534 827 950 243 84 × 2 = 1 + 0,497 779 069 655 900 487 68;
  • 50) 0,497 779 069 655 900 487 68 × 2 = 0 + 0,995 558 139 311 800 975 36;
  • 51) 0,995 558 139 311 800 975 36 × 2 = 1 + 0,991 116 278 623 601 950 72;
  • 52) 0,991 116 278 623 601 950 72 × 2 = 1 + 0,982 232 557 247 203 901 44;
  • 53) 0,982 232 557 247 203 901 44 × 2 = 1 + 0,964 465 114 494 407 802 88;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 755 835 89(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101 0100 1011 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

390,000 000 000 000 755 835 89(10) =

1 1000 0110,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101 0100 1011 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 8 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


390,000 000 000 000 755 835 89(10) =

1 1000 0110,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101 0100 1011 1(2) =

1 1000 0110,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101 0100 1011 1(2) × 20 =

1,1000 0110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101 0100 1011 1(2) × 28


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 8

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101 0100 1011 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

8 + 2(11-1) - 1 =

(8 + 1 023)(10) =

1 031(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 031 : 2 = 515 + 1;
  • 515 : 2 = 257 + 1;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1031(10) =

100 0000 0111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101 0 1001 0111 =

1000 0110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0111

Mantisă (52 biți) =
1000 0110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101


Numărul zecimal 390,000 000 000 000 755 835 89 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0111 - 1000 0110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101

» Scriere 390,000 000 000 000 755 835 58 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100