390,000 000 000 000 755 840 010 557 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 390,000 000 000 000 755 840 010 557(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
390,000 000 000 000 755 840 010 557(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 390.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 390 : 2 = 195 + 0;
  • 195 : 2 = 97 + 1;
  • 97 : 2 = 48 + 1;
  • 48 : 2 = 24 + 0;
  • 24 : 2 = 12 + 0;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

390(10) =

1 1000 0110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 755 840 010 557.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 755 840 010 557 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 511 680 021 114;
  • 2) 0,000 000 000 001 511 680 021 114 × 2 = 0 + 0,000 000 000 003 023 360 042 228;
  • 3) 0,000 000 000 003 023 360 042 228 × 2 = 0 + 0,000 000 000 006 046 720 084 456;
  • 4) 0,000 000 000 006 046 720 084 456 × 2 = 0 + 0,000 000 000 012 093 440 168 912;
  • 5) 0,000 000 000 012 093 440 168 912 × 2 = 0 + 0,000 000 000 024 186 880 337 824;
  • 6) 0,000 000 000 024 186 880 337 824 × 2 = 0 + 0,000 000 000 048 373 760 675 648;
  • 7) 0,000 000 000 048 373 760 675 648 × 2 = 0 + 0,000 000 000 096 747 521 351 296;
  • 8) 0,000 000 000 096 747 521 351 296 × 2 = 0 + 0,000 000 000 193 495 042 702 592;
  • 9) 0,000 000 000 193 495 042 702 592 × 2 = 0 + 0,000 000 000 386 990 085 405 184;
  • 10) 0,000 000 000 386 990 085 405 184 × 2 = 0 + 0,000 000 000 773 980 170 810 368;
  • 11) 0,000 000 000 773 980 170 810 368 × 2 = 0 + 0,000 000 001 547 960 341 620 736;
  • 12) 0,000 000 001 547 960 341 620 736 × 2 = 0 + 0,000 000 003 095 920 683 241 472;
  • 13) 0,000 000 003 095 920 683 241 472 × 2 = 0 + 0,000 000 006 191 841 366 482 944;
  • 14) 0,000 000 006 191 841 366 482 944 × 2 = 0 + 0,000 000 012 383 682 732 965 888;
  • 15) 0,000 000 012 383 682 732 965 888 × 2 = 0 + 0,000 000 024 767 365 465 931 776;
  • 16) 0,000 000 024 767 365 465 931 776 × 2 = 0 + 0,000 000 049 534 730 931 863 552;
  • 17) 0,000 000 049 534 730 931 863 552 × 2 = 0 + 0,000 000 099 069 461 863 727 104;
  • 18) 0,000 000 099 069 461 863 727 104 × 2 = 0 + 0,000 000 198 138 923 727 454 208;
  • 19) 0,000 000 198 138 923 727 454 208 × 2 = 0 + 0,000 000 396 277 847 454 908 416;
  • 20) 0,000 000 396 277 847 454 908 416 × 2 = 0 + 0,000 000 792 555 694 909 816 832;
  • 21) 0,000 000 792 555 694 909 816 832 × 2 = 0 + 0,000 001 585 111 389 819 633 664;
  • 22) 0,000 001 585 111 389 819 633 664 × 2 = 0 + 0,000 003 170 222 779 639 267 328;
  • 23) 0,000 003 170 222 779 639 267 328 × 2 = 0 + 0,000 006 340 445 559 278 534 656;
  • 24) 0,000 006 340 445 559 278 534 656 × 2 = 0 + 0,000 012 680 891 118 557 069 312;
  • 25) 0,000 012 680 891 118 557 069 312 × 2 = 0 + 0,000 025 361 782 237 114 138 624;
  • 26) 0,000 025 361 782 237 114 138 624 × 2 = 0 + 0,000 050 723 564 474 228 277 248;
  • 27) 0,000 050 723 564 474 228 277 248 × 2 = 0 + 0,000 101 447 128 948 456 554 496;
  • 28) 0,000 101 447 128 948 456 554 496 × 2 = 0 + 0,000 202 894 257 896 913 108 992;
  • 29) 0,000 202 894 257 896 913 108 992 × 2 = 0 + 0,000 405 788 515 793 826 217 984;
  • 30) 0,000 405 788 515 793 826 217 984 × 2 = 0 + 0,000 811 577 031 587 652 435 968;
  • 31) 0,000 811 577 031 587 652 435 968 × 2 = 0 + 0,001 623 154 063 175 304 871 936;
  • 32) 0,001 623 154 063 175 304 871 936 × 2 = 0 + 0,003 246 308 126 350 609 743 872;
  • 33) 0,003 246 308 126 350 609 743 872 × 2 = 0 + 0,006 492 616 252 701 219 487 744;
  • 34) 0,006 492 616 252 701 219 487 744 × 2 = 0 + 0,012 985 232 505 402 438 975 488;
  • 35) 0,012 985 232 505 402 438 975 488 × 2 = 0 + 0,025 970 465 010 804 877 950 976;
  • 36) 0,025 970 465 010 804 877 950 976 × 2 = 0 + 0,051 940 930 021 609 755 901 952;
  • 37) 0,051 940 930 021 609 755 901 952 × 2 = 0 + 0,103 881 860 043 219 511 803 904;
  • 38) 0,103 881 860 043 219 511 803 904 × 2 = 0 + 0,207 763 720 086 439 023 607 808;
  • 39) 0,207 763 720 086 439 023 607 808 × 2 = 0 + 0,415 527 440 172 878 047 215 616;
  • 40) 0,415 527 440 172 878 047 215 616 × 2 = 0 + 0,831 054 880 345 756 094 431 232;
  • 41) 0,831 054 880 345 756 094 431 232 × 2 = 1 + 0,662 109 760 691 512 188 862 464;
  • 42) 0,662 109 760 691 512 188 862 464 × 2 = 1 + 0,324 219 521 383 024 377 724 928;
  • 43) 0,324 219 521 383 024 377 724 928 × 2 = 0 + 0,648 439 042 766 048 755 449 856;
  • 44) 0,648 439 042 766 048 755 449 856 × 2 = 1 + 0,296 878 085 532 097 510 899 712;
  • 45) 0,296 878 085 532 097 510 899 712 × 2 = 0 + 0,593 756 171 064 195 021 799 424;
  • 46) 0,593 756 171 064 195 021 799 424 × 2 = 1 + 0,187 512 342 128 390 043 598 848;
  • 47) 0,187 512 342 128 390 043 598 848 × 2 = 0 + 0,375 024 684 256 780 087 197 696;
  • 48) 0,375 024 684 256 780 087 197 696 × 2 = 0 + 0,750 049 368 513 560 174 395 392;
  • 49) 0,750 049 368 513 560 174 395 392 × 2 = 1 + 0,500 098 737 027 120 348 790 784;
  • 50) 0,500 098 737 027 120 348 790 784 × 2 = 1 + 0,000 197 474 054 240 697 581 568;
  • 51) 0,000 197 474 054 240 697 581 568 × 2 = 0 + 0,000 394 948 108 481 395 163 136;
  • 52) 0,000 394 948 108 481 395 163 136 × 2 = 0 + 0,000 789 896 216 962 790 326 272;
  • 53) 0,000 789 896 216 962 790 326 272 × 2 = 0 + 0,001 579 792 433 925 580 652 544;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 755 840 010 557(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101 0100 1100 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

390,000 000 000 000 755 840 010 557(10) =

1 1000 0110,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101 0100 1100 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 8 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


390,000 000 000 000 755 840 010 557(10) =

1 1000 0110,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101 0100 1100 0(2) =

1 1000 0110,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101 0100 1100 0(2) × 20 =

1,1000 0110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101 0100 1100 0(2) × 28


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 8

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101 0100 1100 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

8 + 2(11-1) - 1 =

(8 + 1 023)(10) =

1 031(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 031 : 2 = 515 + 1;
  • 515 : 2 = 257 + 1;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1031(10) =

100 0000 0111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101 0 1001 1000 =

1000 0110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0111

Mantisă (52 biți) =
1000 0110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101


Numărul zecimal 390,000 000 000 000 755 840 010 557 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0111 - 1000 0110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101

Distribuie

» Scriere 390,000 000 000 000 755 840 010 487 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100