390,441 874 999 999 981 810 055 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 390,441 874 999 999 981 810 055 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
390,441 874 999 999 981 810 055 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 390.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 390 : 2 = 195 + 0;
  • 195 : 2 = 97 + 1;
  • 97 : 2 = 48 + 1;
  • 48 : 2 = 24 + 0;
  • 24 : 2 = 12 + 0;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

390(10) =

1 1000 0110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,441 874 999 999 981 810 055 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,441 874 999 999 981 810 055 2 × 2 = 0 + 0,883 749 999 999 963 620 110 4;
  • 2) 0,883 749 999 999 963 620 110 4 × 2 = 1 + 0,767 499 999 999 927 240 220 8;
  • 3) 0,767 499 999 999 927 240 220 8 × 2 = 1 + 0,534 999 999 999 854 480 441 6;
  • 4) 0,534 999 999 999 854 480 441 6 × 2 = 1 + 0,069 999 999 999 708 960 883 2;
  • 5) 0,069 999 999 999 708 960 883 2 × 2 = 0 + 0,139 999 999 999 417 921 766 4;
  • 6) 0,139 999 999 999 417 921 766 4 × 2 = 0 + 0,279 999 999 998 835 843 532 8;
  • 7) 0,279 999 999 998 835 843 532 8 × 2 = 0 + 0,559 999 999 997 671 687 065 6;
  • 8) 0,559 999 999 997 671 687 065 6 × 2 = 1 + 0,119 999 999 995 343 374 131 2;
  • 9) 0,119 999 999 995 343 374 131 2 × 2 = 0 + 0,239 999 999 990 686 748 262 4;
  • 10) 0,239 999 999 990 686 748 262 4 × 2 = 0 + 0,479 999 999 981 373 496 524 8;
  • 11) 0,479 999 999 981 373 496 524 8 × 2 = 0 + 0,959 999 999 962 746 993 049 6;
  • 12) 0,959 999 999 962 746 993 049 6 × 2 = 1 + 0,919 999 999 925 493 986 099 2;
  • 13) 0,919 999 999 925 493 986 099 2 × 2 = 1 + 0,839 999 999 850 987 972 198 4;
  • 14) 0,839 999 999 850 987 972 198 4 × 2 = 1 + 0,679 999 999 701 975 944 396 8;
  • 15) 0,679 999 999 701 975 944 396 8 × 2 = 1 + 0,359 999 999 403 951 888 793 6;
  • 16) 0,359 999 999 403 951 888 793 6 × 2 = 0 + 0,719 999 998 807 903 777 587 2;
  • 17) 0,719 999 998 807 903 777 587 2 × 2 = 1 + 0,439 999 997 615 807 555 174 4;
  • 18) 0,439 999 997 615 807 555 174 4 × 2 = 0 + 0,879 999 995 231 615 110 348 8;
  • 19) 0,879 999 995 231 615 110 348 8 × 2 = 1 + 0,759 999 990 463 230 220 697 6;
  • 20) 0,759 999 990 463 230 220 697 6 × 2 = 1 + 0,519 999 980 926 460 441 395 2;
  • 21) 0,519 999 980 926 460 441 395 2 × 2 = 1 + 0,039 999 961 852 920 882 790 4;
  • 22) 0,039 999 961 852 920 882 790 4 × 2 = 0 + 0,079 999 923 705 841 765 580 8;
  • 23) 0,079 999 923 705 841 765 580 8 × 2 = 0 + 0,159 999 847 411 683 531 161 6;
  • 24) 0,159 999 847 411 683 531 161 6 × 2 = 0 + 0,319 999 694 823 367 062 323 2;
  • 25) 0,319 999 694 823 367 062 323 2 × 2 = 0 + 0,639 999 389 646 734 124 646 4;
  • 26) 0,639 999 389 646 734 124 646 4 × 2 = 1 + 0,279 998 779 293 468 249 292 8;
  • 27) 0,279 998 779 293 468 249 292 8 × 2 = 0 + 0,559 997 558 586 936 498 585 6;
  • 28) 0,559 997 558 586 936 498 585 6 × 2 = 1 + 0,119 995 117 173 872 997 171 2;
  • 29) 0,119 995 117 173 872 997 171 2 × 2 = 0 + 0,239 990 234 347 745 994 342 4;
  • 30) 0,239 990 234 347 745 994 342 4 × 2 = 0 + 0,479 980 468 695 491 988 684 8;
  • 31) 0,479 980 468 695 491 988 684 8 × 2 = 0 + 0,959 960 937 390 983 977 369 6;
  • 32) 0,959 960 937 390 983 977 369 6 × 2 = 1 + 0,919 921 874 781 967 954 739 2;
  • 33) 0,919 921 874 781 967 954 739 2 × 2 = 1 + 0,839 843 749 563 935 909 478 4;
  • 34) 0,839 843 749 563 935 909 478 4 × 2 = 1 + 0,679 687 499 127 871 818 956 8;
  • 35) 0,679 687 499 127 871 818 956 8 × 2 = 1 + 0,359 374 998 255 743 637 913 6;
  • 36) 0,359 374 998 255 743 637 913 6 × 2 = 0 + 0,718 749 996 511 487 275 827 2;
  • 37) 0,718 749 996 511 487 275 827 2 × 2 = 1 + 0,437 499 993 022 974 551 654 4;
  • 38) 0,437 499 993 022 974 551 654 4 × 2 = 0 + 0,874 999 986 045 949 103 308 8;
  • 39) 0,874 999 986 045 949 103 308 8 × 2 = 1 + 0,749 999 972 091 898 206 617 6;
  • 40) 0,749 999 972 091 898 206 617 6 × 2 = 1 + 0,499 999 944 183 796 413 235 2;
  • 41) 0,499 999 944 183 796 413 235 2 × 2 = 0 + 0,999 999 888 367 592 826 470 4;
  • 42) 0,999 999 888 367 592 826 470 4 × 2 = 1 + 0,999 999 776 735 185 652 940 8;
  • 43) 0,999 999 776 735 185 652 940 8 × 2 = 1 + 0,999 999 553 470 371 305 881 6;
  • 44) 0,999 999 553 470 371 305 881 6 × 2 = 1 + 0,999 999 106 940 742 611 763 2;
  • 45) 0,999 999 106 940 742 611 763 2 × 2 = 1 + 0,999 998 213 881 485 223 526 4;
  • 46) 0,999 998 213 881 485 223 526 4 × 2 = 1 + 0,999 996 427 762 970 447 052 8;
  • 47) 0,999 996 427 762 970 447 052 8 × 2 = 1 + 0,999 992 855 525 940 894 105 6;
  • 48) 0,999 992 855 525 940 894 105 6 × 2 = 1 + 0,999 985 711 051 881 788 211 2;
  • 49) 0,999 985 711 051 881 788 211 2 × 2 = 1 + 0,999 971 422 103 763 576 422 4;
  • 50) 0,999 971 422 103 763 576 422 4 × 2 = 1 + 0,999 942 844 207 527 152 844 8;
  • 51) 0,999 942 844 207 527 152 844 8 × 2 = 1 + 0,999 885 688 415 054 305 689 6;
  • 52) 0,999 885 688 415 054 305 689 6 × 2 = 1 + 0,999 771 376 830 108 611 379 2;
  • 53) 0,999 771 376 830 108 611 379 2 × 2 = 1 + 0,999 542 753 660 217 222 758 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,441 874 999 999 981 810 055 2(10) =

0,0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

390,441 874 999 999 981 810 055 2(10) =

1 1000 0110,0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 8 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


390,441 874 999 999 981 810 055 2(10) =

1 1000 0110,0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1111 1(2) =

1 1000 0110,0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1111 1(2) × 20 =

1,1000 0110 0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1111 1(2) × 28


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 8

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0110 0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1111 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

8 + 2(11-1) - 1 =

(8 + 1 023)(10) =

1 031(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 031 : 2 = 515 + 1;
  • 515 : 2 = 257 + 1;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1031(10) =

100 0000 0111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0110 0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1 1111 1111 =

1000 0110 0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0111

Mantisă (52 biți) =
1000 0110 0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111


Numărul zecimal 390,441 874 999 999 981 810 055 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0111 - 1000 0110 0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111

Distribuie

» Scriere 390,441 874 999 999 981 810 047 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100