390,441 875 000 000 78 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 390,441 875 000 000 78(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
390,441 875 000 000 78(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 390.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 390 : 2 = 195 + 0;
  • 195 : 2 = 97 + 1;
  • 97 : 2 = 48 + 1;
  • 48 : 2 = 24 + 0;
  • 24 : 2 = 12 + 0;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

390(10) =

1 1000 0110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,441 875 000 000 78.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,441 875 000 000 78 × 2 = 0 + 0,883 750 000 001 56;
  • 2) 0,883 750 000 001 56 × 2 = 1 + 0,767 500 000 003 12;
  • 3) 0,767 500 000 003 12 × 2 = 1 + 0,535 000 000 006 24;
  • 4) 0,535 000 000 006 24 × 2 = 1 + 0,070 000 000 012 48;
  • 5) 0,070 000 000 012 48 × 2 = 0 + 0,140 000 000 024 96;
  • 6) 0,140 000 000 024 96 × 2 = 0 + 0,280 000 000 049 92;
  • 7) 0,280 000 000 049 92 × 2 = 0 + 0,560 000 000 099 84;
  • 8) 0,560 000 000 099 84 × 2 = 1 + 0,120 000 000 199 68;
  • 9) 0,120 000 000 199 68 × 2 = 0 + 0,240 000 000 399 36;
  • 10) 0,240 000 000 399 36 × 2 = 0 + 0,480 000 000 798 72;
  • 11) 0,480 000 000 798 72 × 2 = 0 + 0,960 000 001 597 44;
  • 12) 0,960 000 001 597 44 × 2 = 1 + 0,920 000 003 194 88;
  • 13) 0,920 000 003 194 88 × 2 = 1 + 0,840 000 006 389 76;
  • 14) 0,840 000 006 389 76 × 2 = 1 + 0,680 000 012 779 52;
  • 15) 0,680 000 012 779 52 × 2 = 1 + 0,360 000 025 559 04;
  • 16) 0,360 000 025 559 04 × 2 = 0 + 0,720 000 051 118 08;
  • 17) 0,720 000 051 118 08 × 2 = 1 + 0,440 000 102 236 16;
  • 18) 0,440 000 102 236 16 × 2 = 0 + 0,880 000 204 472 32;
  • 19) 0,880 000 204 472 32 × 2 = 1 + 0,760 000 408 944 64;
  • 20) 0,760 000 408 944 64 × 2 = 1 + 0,520 000 817 889 28;
  • 21) 0,520 000 817 889 28 × 2 = 1 + 0,040 001 635 778 56;
  • 22) 0,040 001 635 778 56 × 2 = 0 + 0,080 003 271 557 12;
  • 23) 0,080 003 271 557 12 × 2 = 0 + 0,160 006 543 114 24;
  • 24) 0,160 006 543 114 24 × 2 = 0 + 0,320 013 086 228 48;
  • 25) 0,320 013 086 228 48 × 2 = 0 + 0,640 026 172 456 96;
  • 26) 0,640 026 172 456 96 × 2 = 1 + 0,280 052 344 913 92;
  • 27) 0,280 052 344 913 92 × 2 = 0 + 0,560 104 689 827 84;
  • 28) 0,560 104 689 827 84 × 2 = 1 + 0,120 209 379 655 68;
  • 29) 0,120 209 379 655 68 × 2 = 0 + 0,240 418 759 311 36;
  • 30) 0,240 418 759 311 36 × 2 = 0 + 0,480 837 518 622 72;
  • 31) 0,480 837 518 622 72 × 2 = 0 + 0,961 675 037 245 44;
  • 32) 0,961 675 037 245 44 × 2 = 1 + 0,923 350 074 490 88;
  • 33) 0,923 350 074 490 88 × 2 = 1 + 0,846 700 148 981 76;
  • 34) 0,846 700 148 981 76 × 2 = 1 + 0,693 400 297 963 52;
  • 35) 0,693 400 297 963 52 × 2 = 1 + 0,386 800 595 927 04;
  • 36) 0,386 800 595 927 04 × 2 = 0 + 0,773 601 191 854 08;
  • 37) 0,773 601 191 854 08 × 2 = 1 + 0,547 202 383 708 16;
  • 38) 0,547 202 383 708 16 × 2 = 1 + 0,094 404 767 416 32;
  • 39) 0,094 404 767 416 32 × 2 = 0 + 0,188 809 534 832 64;
  • 40) 0,188 809 534 832 64 × 2 = 0 + 0,377 619 069 665 28;
  • 41) 0,377 619 069 665 28 × 2 = 0 + 0,755 238 139 330 56;
  • 42) 0,755 238 139 330 56 × 2 = 1 + 0,510 476 278 661 12;
  • 43) 0,510 476 278 661 12 × 2 = 1 + 0,020 952 557 322 24;
  • 44) 0,020 952 557 322 24 × 2 = 0 + 0,041 905 114 644 48;
  • 45) 0,041 905 114 644 48 × 2 = 0 + 0,083 810 229 288 96;
  • 46) 0,083 810 229 288 96 × 2 = 0 + 0,167 620 458 577 92;
  • 47) 0,167 620 458 577 92 × 2 = 0 + 0,335 240 917 155 84;
  • 48) 0,335 240 917 155 84 × 2 = 0 + 0,670 481 834 311 68;
  • 49) 0,670 481 834 311 68 × 2 = 1 + 0,340 963 668 623 36;
  • 50) 0,340 963 668 623 36 × 2 = 0 + 0,681 927 337 246 72;
  • 51) 0,681 927 337 246 72 × 2 = 1 + 0,363 854 674 493 44;
  • 52) 0,363 854 674 493 44 × 2 = 0 + 0,727 709 348 986 88;
  • 53) 0,727 709 348 986 88 × 2 = 1 + 0,455 418 697 973 76;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,441 875 000 000 78(10) =

0,0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0110 0000 1010 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

390,441 875 000 000 78(10) =

1 1000 0110,0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0110 0000 1010 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 8 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


390,441 875 000 000 78(10) =

1 1000 0110,0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0110 0000 1010 1(2) =

1 1000 0110,0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0110 0000 1010 1(2) × 20 =

1,1000 0110 0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0110 0000 1010 1(2) × 28


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 8

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0110 0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0110 0000 1010 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

8 + 2(11-1) - 1 =

(8 + 1 023)(10) =

1 031(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 031 : 2 = 515 + 1;
  • 515 : 2 = 257 + 1;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1031(10) =

100 0000 0111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0110 0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0110 0 0001 0101 =

1000 0110 0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0111

Mantisă (52 biți) =
1000 0110 0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0110


Numărul zecimal 390,441 875 000 000 78 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0111 - 1000 0110 0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0110

Distribuie

» Scriere 390,441 875 000 000 79 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100