39 643,788 742 023 025 383 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 39 643,788 742 023 025 383 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
39 643,788 742 023 025 383 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 39 643.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 39 643 : 2 = 19 821 + 1;
  • 19 821 : 2 = 9 910 + 1;
  • 9 910 : 2 = 4 955 + 0;
  • 4 955 : 2 = 2 477 + 1;
  • 2 477 : 2 = 1 238 + 1;
  • 1 238 : 2 = 619 + 0;
  • 619 : 2 = 309 + 1;
  • 309 : 2 = 154 + 1;
  • 154 : 2 = 77 + 0;
  • 77 : 2 = 38 + 1;
  • 38 : 2 = 19 + 0;
  • 19 : 2 = 9 + 1;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

39 643(10) =

1001 1010 1101 1011(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,788 742 023 025 383 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,788 742 023 025 383 4 × 2 = 1 + 0,577 484 046 050 766 8;
  • 2) 0,577 484 046 050 766 8 × 2 = 1 + 0,154 968 092 101 533 6;
  • 3) 0,154 968 092 101 533 6 × 2 = 0 + 0,309 936 184 203 067 2;
  • 4) 0,309 936 184 203 067 2 × 2 = 0 + 0,619 872 368 406 134 4;
  • 5) 0,619 872 368 406 134 4 × 2 = 1 + 0,239 744 736 812 268 8;
  • 6) 0,239 744 736 812 268 8 × 2 = 0 + 0,479 489 473 624 537 6;
  • 7) 0,479 489 473 624 537 6 × 2 = 0 + 0,958 978 947 249 075 2;
  • 8) 0,958 978 947 249 075 2 × 2 = 1 + 0,917 957 894 498 150 4;
  • 9) 0,917 957 894 498 150 4 × 2 = 1 + 0,835 915 788 996 300 8;
  • 10) 0,835 915 788 996 300 8 × 2 = 1 + 0,671 831 577 992 601 6;
  • 11) 0,671 831 577 992 601 6 × 2 = 1 + 0,343 663 155 985 203 2;
  • 12) 0,343 663 155 985 203 2 × 2 = 0 + 0,687 326 311 970 406 4;
  • 13) 0,687 326 311 970 406 4 × 2 = 1 + 0,374 652 623 940 812 8;
  • 14) 0,374 652 623 940 812 8 × 2 = 0 + 0,749 305 247 881 625 6;
  • 15) 0,749 305 247 881 625 6 × 2 = 1 + 0,498 610 495 763 251 2;
  • 16) 0,498 610 495 763 251 2 × 2 = 0 + 0,997 220 991 526 502 4;
  • 17) 0,997 220 991 526 502 4 × 2 = 1 + 0,994 441 983 053 004 8;
  • 18) 0,994 441 983 053 004 8 × 2 = 1 + 0,988 883 966 106 009 6;
  • 19) 0,988 883 966 106 009 6 × 2 = 1 + 0,977 767 932 212 019 2;
  • 20) 0,977 767 932 212 019 2 × 2 = 1 + 0,955 535 864 424 038 4;
  • 21) 0,955 535 864 424 038 4 × 2 = 1 + 0,911 071 728 848 076 8;
  • 22) 0,911 071 728 848 076 8 × 2 = 1 + 0,822 143 457 696 153 6;
  • 23) 0,822 143 457 696 153 6 × 2 = 1 + 0,644 286 915 392 307 2;
  • 24) 0,644 286 915 392 307 2 × 2 = 1 + 0,288 573 830 784 614 4;
  • 25) 0,288 573 830 784 614 4 × 2 = 0 + 0,577 147 661 569 228 8;
  • 26) 0,577 147 661 569 228 8 × 2 = 1 + 0,154 295 323 138 457 6;
  • 27) 0,154 295 323 138 457 6 × 2 = 0 + 0,308 590 646 276 915 2;
  • 28) 0,308 590 646 276 915 2 × 2 = 0 + 0,617 181 292 553 830 4;
  • 29) 0,617 181 292 553 830 4 × 2 = 1 + 0,234 362 585 107 660 8;
  • 30) 0,234 362 585 107 660 8 × 2 = 0 + 0,468 725 170 215 321 6;
  • 31) 0,468 725 170 215 321 6 × 2 = 0 + 0,937 450 340 430 643 2;
  • 32) 0,937 450 340 430 643 2 × 2 = 1 + 0,874 900 680 861 286 4;
  • 33) 0,874 900 680 861 286 4 × 2 = 1 + 0,749 801 361 722 572 8;
  • 34) 0,749 801 361 722 572 8 × 2 = 1 + 0,499 602 723 445 145 6;
  • 35) 0,499 602 723 445 145 6 × 2 = 0 + 0,999 205 446 890 291 2;
  • 36) 0,999 205 446 890 291 2 × 2 = 1 + 0,998 410 893 780 582 4;
  • 37) 0,998 410 893 780 582 4 × 2 = 1 + 0,996 821 787 561 164 8;
  • 38) 0,996 821 787 561 164 8 × 2 = 1 + 0,993 643 575 122 329 6;
  • 39) 0,993 643 575 122 329 6 × 2 = 1 + 0,987 287 150 244 659 2;
  • 40) 0,987 287 150 244 659 2 × 2 = 1 + 0,974 574 300 489 318 4;
  • 41) 0,974 574 300 489 318 4 × 2 = 1 + 0,949 148 600 978 636 8;
  • 42) 0,949 148 600 978 636 8 × 2 = 1 + 0,898 297 201 957 273 6;
  • 43) 0,898 297 201 957 273 6 × 2 = 1 + 0,796 594 403 914 547 2;
  • 44) 0,796 594 403 914 547 2 × 2 = 1 + 0,593 188 807 829 094 4;
  • 45) 0,593 188 807 829 094 4 × 2 = 1 + 0,186 377 615 658 188 8;
  • 46) 0,186 377 615 658 188 8 × 2 = 0 + 0,372 755 231 316 377 6;
  • 47) 0,372 755 231 316 377 6 × 2 = 0 + 0,745 510 462 632 755 2;
  • 48) 0,745 510 462 632 755 2 × 2 = 1 + 0,491 020 925 265 510 4;
  • 49) 0,491 020 925 265 510 4 × 2 = 0 + 0,982 041 850 531 020 8;
  • 50) 0,982 041 850 531 020 8 × 2 = 1 + 0,964 083 701 062 041 6;
  • 51) 0,964 083 701 062 041 6 × 2 = 1 + 0,928 167 402 124 083 2;
  • 52) 0,928 167 402 124 083 2 × 2 = 1 + 0,856 334 804 248 166 4;
  • 53) 0,856 334 804 248 166 4 × 2 = 1 + 0,712 669 608 496 332 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,788 742 023 025 383 4(10) =

0,1100 1001 1110 1010 1111 1111 0100 1001 1101 1111 1111 1001 0111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

39 643,788 742 023 025 383 4(10) =

1001 1010 1101 1011,1100 1001 1110 1010 1111 1111 0100 1001 1101 1111 1111 1001 0111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


39 643,788 742 023 025 383 4(10) =

1001 1010 1101 1011,1100 1001 1110 1010 1111 1111 0100 1001 1101 1111 1111 1001 0111 1(2) =

1001 1010 1101 1011,1100 1001 1110 1010 1111 1111 0100 1001 1101 1111 1111 1001 0111 1(2) × 20 =

1,0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1011 1111 1111 0010 1111(2) × 215


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 15

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1011 1111 1111 0010 1111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

15 + 2(11-1) - 1 =

(15 + 1 023)(10) =

1 038(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 038 : 2 = 519 + 0;
  • 519 : 2 = 259 + 1;
  • 259 : 2 = 129 + 1;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1038(10) =

100 0000 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1011 1111 1111 0010 1111 =

0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1110

Mantisă (52 biți) =
0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1011


Numărul zecimal 39 643,788 742 023 025 383 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1110 - 0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1011

Distribuie

» Scriere 39 643,788 742 023 025 382 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100