39 643,788 742 023 025 406 524 077 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 39 643,788 742 023 025 406 524 077(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
39 643,788 742 023 025 406 524 077(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 39 643.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 39 643 : 2 = 19 821 + 1;
  • 19 821 : 2 = 9 910 + 1;
  • 9 910 : 2 = 4 955 + 0;
  • 4 955 : 2 = 2 477 + 1;
  • 2 477 : 2 = 1 238 + 1;
  • 1 238 : 2 = 619 + 0;
  • 619 : 2 = 309 + 1;
  • 309 : 2 = 154 + 1;
  • 154 : 2 = 77 + 0;
  • 77 : 2 = 38 + 1;
  • 38 : 2 = 19 + 0;
  • 19 : 2 = 9 + 1;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

39 643(10) =

1001 1010 1101 1011(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,788 742 023 025 406 524 077.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,788 742 023 025 406 524 077 × 2 = 1 + 0,577 484 046 050 813 048 154;
  • 2) 0,577 484 046 050 813 048 154 × 2 = 1 + 0,154 968 092 101 626 096 308;
  • 3) 0,154 968 092 101 626 096 308 × 2 = 0 + 0,309 936 184 203 252 192 616;
  • 4) 0,309 936 184 203 252 192 616 × 2 = 0 + 0,619 872 368 406 504 385 232;
  • 5) 0,619 872 368 406 504 385 232 × 2 = 1 + 0,239 744 736 813 008 770 464;
  • 6) 0,239 744 736 813 008 770 464 × 2 = 0 + 0,479 489 473 626 017 540 928;
  • 7) 0,479 489 473 626 017 540 928 × 2 = 0 + 0,958 978 947 252 035 081 856;
  • 8) 0,958 978 947 252 035 081 856 × 2 = 1 + 0,917 957 894 504 070 163 712;
  • 9) 0,917 957 894 504 070 163 712 × 2 = 1 + 0,835 915 789 008 140 327 424;
  • 10) 0,835 915 789 008 140 327 424 × 2 = 1 + 0,671 831 578 016 280 654 848;
  • 11) 0,671 831 578 016 280 654 848 × 2 = 1 + 0,343 663 156 032 561 309 696;
  • 12) 0,343 663 156 032 561 309 696 × 2 = 0 + 0,687 326 312 065 122 619 392;
  • 13) 0,687 326 312 065 122 619 392 × 2 = 1 + 0,374 652 624 130 245 238 784;
  • 14) 0,374 652 624 130 245 238 784 × 2 = 0 + 0,749 305 248 260 490 477 568;
  • 15) 0,749 305 248 260 490 477 568 × 2 = 1 + 0,498 610 496 520 980 955 136;
  • 16) 0,498 610 496 520 980 955 136 × 2 = 0 + 0,997 220 993 041 961 910 272;
  • 17) 0,997 220 993 041 961 910 272 × 2 = 1 + 0,994 441 986 083 923 820 544;
  • 18) 0,994 441 986 083 923 820 544 × 2 = 1 + 0,988 883 972 167 847 641 088;
  • 19) 0,988 883 972 167 847 641 088 × 2 = 1 + 0,977 767 944 335 695 282 176;
  • 20) 0,977 767 944 335 695 282 176 × 2 = 1 + 0,955 535 888 671 390 564 352;
  • 21) 0,955 535 888 671 390 564 352 × 2 = 1 + 0,911 071 777 342 781 128 704;
  • 22) 0,911 071 777 342 781 128 704 × 2 = 1 + 0,822 143 554 685 562 257 408;
  • 23) 0,822 143 554 685 562 257 408 × 2 = 1 + 0,644 287 109 371 124 514 816;
  • 24) 0,644 287 109 371 124 514 816 × 2 = 1 + 0,288 574 218 742 249 029 632;
  • 25) 0,288 574 218 742 249 029 632 × 2 = 0 + 0,577 148 437 484 498 059 264;
  • 26) 0,577 148 437 484 498 059 264 × 2 = 1 + 0,154 296 874 968 996 118 528;
  • 27) 0,154 296 874 968 996 118 528 × 2 = 0 + 0,308 593 749 937 992 237 056;
  • 28) 0,308 593 749 937 992 237 056 × 2 = 0 + 0,617 187 499 875 984 474 112;
  • 29) 0,617 187 499 875 984 474 112 × 2 = 1 + 0,234 374 999 751 968 948 224;
  • 30) 0,234 374 999 751 968 948 224 × 2 = 0 + 0,468 749 999 503 937 896 448;
  • 31) 0,468 749 999 503 937 896 448 × 2 = 0 + 0,937 499 999 007 875 792 896;
  • 32) 0,937 499 999 007 875 792 896 × 2 = 1 + 0,874 999 998 015 751 585 792;
  • 33) 0,874 999 998 015 751 585 792 × 2 = 1 + 0,749 999 996 031 503 171 584;
  • 34) 0,749 999 996 031 503 171 584 × 2 = 1 + 0,499 999 992 063 006 343 168;
  • 35) 0,499 999 992 063 006 343 168 × 2 = 0 + 0,999 999 984 126 012 686 336;
  • 36) 0,999 999 984 126 012 686 336 × 2 = 1 + 0,999 999 968 252 025 372 672;
  • 37) 0,999 999 968 252 025 372 672 × 2 = 1 + 0,999 999 936 504 050 745 344;
  • 38) 0,999 999 936 504 050 745 344 × 2 = 1 + 0,999 999 873 008 101 490 688;
  • 39) 0,999 999 873 008 101 490 688 × 2 = 1 + 0,999 999 746 016 202 981 376;
  • 40) 0,999 999 746 016 202 981 376 × 2 = 1 + 0,999 999 492 032 405 962 752;
  • 41) 0,999 999 492 032 405 962 752 × 2 = 1 + 0,999 998 984 064 811 925 504;
  • 42) 0,999 998 984 064 811 925 504 × 2 = 1 + 0,999 997 968 129 623 851 008;
  • 43) 0,999 997 968 129 623 851 008 × 2 = 1 + 0,999 995 936 259 247 702 016;
  • 44) 0,999 995 936 259 247 702 016 × 2 = 1 + 0,999 991 872 518 495 404 032;
  • 45) 0,999 991 872 518 495 404 032 × 2 = 1 + 0,999 983 745 036 990 808 064;
  • 46) 0,999 983 745 036 990 808 064 × 2 = 1 + 0,999 967 490 073 981 616 128;
  • 47) 0,999 967 490 073 981 616 128 × 2 = 1 + 0,999 934 980 147 963 232 256;
  • 48) 0,999 934 980 147 963 232 256 × 2 = 1 + 0,999 869 960 295 926 464 512;
  • 49) 0,999 869 960 295 926 464 512 × 2 = 1 + 0,999 739 920 591 852 929 024;
  • 50) 0,999 739 920 591 852 929 024 × 2 = 1 + 0,999 479 841 183 705 858 048;
  • 51) 0,999 479 841 183 705 858 048 × 2 = 1 + 0,998 959 682 367 411 716 096;
  • 52) 0,998 959 682 367 411 716 096 × 2 = 1 + 0,997 919 364 734 823 432 192;
  • 53) 0,997 919 364 734 823 432 192 × 2 = 1 + 0,995 838 729 469 646 864 384;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,788 742 023 025 406 524 077(10) =

0,1100 1001 1110 1010 1111 1111 0100 1001 1101 1111 1111 1111 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

39 643,788 742 023 025 406 524 077(10) =

1001 1010 1101 1011,1100 1001 1110 1010 1111 1111 0100 1001 1101 1111 1111 1111 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


39 643,788 742 023 025 406 524 077(10) =

1001 1010 1101 1011,1100 1001 1110 1010 1111 1111 0100 1001 1101 1111 1111 1111 1111 1(2) =

1001 1010 1101 1011,1100 1001 1110 1010 1111 1111 0100 1001 1101 1111 1111 1111 1111 1(2) × 20 =

1,0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1011 1111 1111 1111 1111(2) × 215


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 15

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1011 1111 1111 1111 1111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

15 + 2(11-1) - 1 =

(15 + 1 023)(10) =

1 038(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 038 : 2 = 519 + 0;
  • 519 : 2 = 259 + 1;
  • 259 : 2 = 129 + 1;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1038(10) =

100 0000 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1011 1111 1111 1111 1111 =

0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1110

Mantisă (52 biți) =
0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1011


Numărul zecimal 39 643,788 742 023 025 406 524 077 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1110 - 0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1011

Distribuie

» Scriere 39 643,788 742 023 025 406 524 053 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100