39 643,788 742 023 025 406 531 67 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 39 643,788 742 023 025 406 531 67(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
39 643,788 742 023 025 406 531 67(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 39 643.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 39 643 : 2 = 19 821 + 1;
  • 19 821 : 2 = 9 910 + 1;
  • 9 910 : 2 = 4 955 + 0;
  • 4 955 : 2 = 2 477 + 1;
  • 2 477 : 2 = 1 238 + 1;
  • 1 238 : 2 = 619 + 0;
  • 619 : 2 = 309 + 1;
  • 309 : 2 = 154 + 1;
  • 154 : 2 = 77 + 0;
  • 77 : 2 = 38 + 1;
  • 38 : 2 = 19 + 0;
  • 19 : 2 = 9 + 1;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

39 643(10) =

1001 1010 1101 1011(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,788 742 023 025 406 531 67.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,788 742 023 025 406 531 67 × 2 = 1 + 0,577 484 046 050 813 063 34;
  • 2) 0,577 484 046 050 813 063 34 × 2 = 1 + 0,154 968 092 101 626 126 68;
  • 3) 0,154 968 092 101 626 126 68 × 2 = 0 + 0,309 936 184 203 252 253 36;
  • 4) 0,309 936 184 203 252 253 36 × 2 = 0 + 0,619 872 368 406 504 506 72;
  • 5) 0,619 872 368 406 504 506 72 × 2 = 1 + 0,239 744 736 813 009 013 44;
  • 6) 0,239 744 736 813 009 013 44 × 2 = 0 + 0,479 489 473 626 018 026 88;
  • 7) 0,479 489 473 626 018 026 88 × 2 = 0 + 0,958 978 947 252 036 053 76;
  • 8) 0,958 978 947 252 036 053 76 × 2 = 1 + 0,917 957 894 504 072 107 52;
  • 9) 0,917 957 894 504 072 107 52 × 2 = 1 + 0,835 915 789 008 144 215 04;
  • 10) 0,835 915 789 008 144 215 04 × 2 = 1 + 0,671 831 578 016 288 430 08;
  • 11) 0,671 831 578 016 288 430 08 × 2 = 1 + 0,343 663 156 032 576 860 16;
  • 12) 0,343 663 156 032 576 860 16 × 2 = 0 + 0,687 326 312 065 153 720 32;
  • 13) 0,687 326 312 065 153 720 32 × 2 = 1 + 0,374 652 624 130 307 440 64;
  • 14) 0,374 652 624 130 307 440 64 × 2 = 0 + 0,749 305 248 260 614 881 28;
  • 15) 0,749 305 248 260 614 881 28 × 2 = 1 + 0,498 610 496 521 229 762 56;
  • 16) 0,498 610 496 521 229 762 56 × 2 = 0 + 0,997 220 993 042 459 525 12;
  • 17) 0,997 220 993 042 459 525 12 × 2 = 1 + 0,994 441 986 084 919 050 24;
  • 18) 0,994 441 986 084 919 050 24 × 2 = 1 + 0,988 883 972 169 838 100 48;
  • 19) 0,988 883 972 169 838 100 48 × 2 = 1 + 0,977 767 944 339 676 200 96;
  • 20) 0,977 767 944 339 676 200 96 × 2 = 1 + 0,955 535 888 679 352 401 92;
  • 21) 0,955 535 888 679 352 401 92 × 2 = 1 + 0,911 071 777 358 704 803 84;
  • 22) 0,911 071 777 358 704 803 84 × 2 = 1 + 0,822 143 554 717 409 607 68;
  • 23) 0,822 143 554 717 409 607 68 × 2 = 1 + 0,644 287 109 434 819 215 36;
  • 24) 0,644 287 109 434 819 215 36 × 2 = 1 + 0,288 574 218 869 638 430 72;
  • 25) 0,288 574 218 869 638 430 72 × 2 = 0 + 0,577 148 437 739 276 861 44;
  • 26) 0,577 148 437 739 276 861 44 × 2 = 1 + 0,154 296 875 478 553 722 88;
  • 27) 0,154 296 875 478 553 722 88 × 2 = 0 + 0,308 593 750 957 107 445 76;
  • 28) 0,308 593 750 957 107 445 76 × 2 = 0 + 0,617 187 501 914 214 891 52;
  • 29) 0,617 187 501 914 214 891 52 × 2 = 1 + 0,234 375 003 828 429 783 04;
  • 30) 0,234 375 003 828 429 783 04 × 2 = 0 + 0,468 750 007 656 859 566 08;
  • 31) 0,468 750 007 656 859 566 08 × 2 = 0 + 0,937 500 015 313 719 132 16;
  • 32) 0,937 500 015 313 719 132 16 × 2 = 1 + 0,875 000 030 627 438 264 32;
  • 33) 0,875 000 030 627 438 264 32 × 2 = 1 + 0,750 000 061 254 876 528 64;
  • 34) 0,750 000 061 254 876 528 64 × 2 = 1 + 0,500 000 122 509 753 057 28;
  • 35) 0,500 000 122 509 753 057 28 × 2 = 1 + 0,000 000 245 019 506 114 56;
  • 36) 0,000 000 245 019 506 114 56 × 2 = 0 + 0,000 000 490 039 012 229 12;
  • 37) 0,000 000 490 039 012 229 12 × 2 = 0 + 0,000 000 980 078 024 458 24;
  • 38) 0,000 000 980 078 024 458 24 × 2 = 0 + 0,000 001 960 156 048 916 48;
  • 39) 0,000 001 960 156 048 916 48 × 2 = 0 + 0,000 003 920 312 097 832 96;
  • 40) 0,000 003 920 312 097 832 96 × 2 = 0 + 0,000 007 840 624 195 665 92;
  • 41) 0,000 007 840 624 195 665 92 × 2 = 0 + 0,000 015 681 248 391 331 84;
  • 42) 0,000 015 681 248 391 331 84 × 2 = 0 + 0,000 031 362 496 782 663 68;
  • 43) 0,000 031 362 496 782 663 68 × 2 = 0 + 0,000 062 724 993 565 327 36;
  • 44) 0,000 062 724 993 565 327 36 × 2 = 0 + 0,000 125 449 987 130 654 72;
  • 45) 0,000 125 449 987 130 654 72 × 2 = 0 + 0,000 250 899 974 261 309 44;
  • 46) 0,000 250 899 974 261 309 44 × 2 = 0 + 0,000 501 799 948 522 618 88;
  • 47) 0,000 501 799 948 522 618 88 × 2 = 0 + 0,001 003 599 897 045 237 76;
  • 48) 0,001 003 599 897 045 237 76 × 2 = 0 + 0,002 007 199 794 090 475 52;
  • 49) 0,002 007 199 794 090 475 52 × 2 = 0 + 0,004 014 399 588 180 951 04;
  • 50) 0,004 014 399 588 180 951 04 × 2 = 0 + 0,008 028 799 176 361 902 08;
  • 51) 0,008 028 799 176 361 902 08 × 2 = 0 + 0,016 057 598 352 723 804 16;
  • 52) 0,016 057 598 352 723 804 16 × 2 = 0 + 0,032 115 196 705 447 608 32;
  • 53) 0,032 115 196 705 447 608 32 × 2 = 0 + 0,064 230 393 410 895 216 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,788 742 023 025 406 531 67(10) =

0,1100 1001 1110 1010 1111 1111 0100 1001 1110 0000 0000 0000 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

39 643,788 742 023 025 406 531 67(10) =

1001 1010 1101 1011,1100 1001 1110 1010 1111 1111 0100 1001 1110 0000 0000 0000 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


39 643,788 742 023 025 406 531 67(10) =

1001 1010 1101 1011,1100 1001 1110 1010 1111 1111 0100 1001 1110 0000 0000 0000 0000 0(2) =

1001 1010 1101 1011,1100 1001 1110 1010 1111 1111 0100 1001 1110 0000 0000 0000 0000 0(2) × 20 =

1,0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1100 0000 0000 0000 0000(2) × 215


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 15

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1100 0000 0000 0000 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

15 + 2(11-1) - 1 =

(15 + 1 023)(10) =

1 038(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 038 : 2 = 519 + 0;
  • 519 : 2 = 259 + 1;
  • 259 : 2 = 129 + 1;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1038(10) =

100 0000 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1100 0000 0000 0000 0000 =

0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1110

Mantisă (52 biți) =
0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1100


Numărul zecimal 39 643,788 742 023 025 406 531 67 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1110 - 0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1100

Distribuie

» Scriere 39 643,788 742 023 025 406 531 27 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100