39 643,788 742 023 025 406 539 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 39 643,788 742 023 025 406 539 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
39 643,788 742 023 025 406 539 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 39 643.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 39 643 : 2 = 19 821 + 1;
  • 19 821 : 2 = 9 910 + 1;
  • 9 910 : 2 = 4 955 + 0;
  • 4 955 : 2 = 2 477 + 1;
  • 2 477 : 2 = 1 238 + 1;
  • 1 238 : 2 = 619 + 0;
  • 619 : 2 = 309 + 1;
  • 309 : 2 = 154 + 1;
  • 154 : 2 = 77 + 0;
  • 77 : 2 = 38 + 1;
  • 38 : 2 = 19 + 0;
  • 19 : 2 = 9 + 1;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

39 643(10) =

1001 1010 1101 1011(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,788 742 023 025 406 539 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,788 742 023 025 406 539 7 × 2 = 1 + 0,577 484 046 050 813 079 4;
  • 2) 0,577 484 046 050 813 079 4 × 2 = 1 + 0,154 968 092 101 626 158 8;
  • 3) 0,154 968 092 101 626 158 8 × 2 = 0 + 0,309 936 184 203 252 317 6;
  • 4) 0,309 936 184 203 252 317 6 × 2 = 0 + 0,619 872 368 406 504 635 2;
  • 5) 0,619 872 368 406 504 635 2 × 2 = 1 + 0,239 744 736 813 009 270 4;
  • 6) 0,239 744 736 813 009 270 4 × 2 = 0 + 0,479 489 473 626 018 540 8;
  • 7) 0,479 489 473 626 018 540 8 × 2 = 0 + 0,958 978 947 252 037 081 6;
  • 8) 0,958 978 947 252 037 081 6 × 2 = 1 + 0,917 957 894 504 074 163 2;
  • 9) 0,917 957 894 504 074 163 2 × 2 = 1 + 0,835 915 789 008 148 326 4;
  • 10) 0,835 915 789 008 148 326 4 × 2 = 1 + 0,671 831 578 016 296 652 8;
  • 11) 0,671 831 578 016 296 652 8 × 2 = 1 + 0,343 663 156 032 593 305 6;
  • 12) 0,343 663 156 032 593 305 6 × 2 = 0 + 0,687 326 312 065 186 611 2;
  • 13) 0,687 326 312 065 186 611 2 × 2 = 1 + 0,374 652 624 130 373 222 4;
  • 14) 0,374 652 624 130 373 222 4 × 2 = 0 + 0,749 305 248 260 746 444 8;
  • 15) 0,749 305 248 260 746 444 8 × 2 = 1 + 0,498 610 496 521 492 889 6;
  • 16) 0,498 610 496 521 492 889 6 × 2 = 0 + 0,997 220 993 042 985 779 2;
  • 17) 0,997 220 993 042 985 779 2 × 2 = 1 + 0,994 441 986 085 971 558 4;
  • 18) 0,994 441 986 085 971 558 4 × 2 = 1 + 0,988 883 972 171 943 116 8;
  • 19) 0,988 883 972 171 943 116 8 × 2 = 1 + 0,977 767 944 343 886 233 6;
  • 20) 0,977 767 944 343 886 233 6 × 2 = 1 + 0,955 535 888 687 772 467 2;
  • 21) 0,955 535 888 687 772 467 2 × 2 = 1 + 0,911 071 777 375 544 934 4;
  • 22) 0,911 071 777 375 544 934 4 × 2 = 1 + 0,822 143 554 751 089 868 8;
  • 23) 0,822 143 554 751 089 868 8 × 2 = 1 + 0,644 287 109 502 179 737 6;
  • 24) 0,644 287 109 502 179 737 6 × 2 = 1 + 0,288 574 219 004 359 475 2;
  • 25) 0,288 574 219 004 359 475 2 × 2 = 0 + 0,577 148 438 008 718 950 4;
  • 26) 0,577 148 438 008 718 950 4 × 2 = 1 + 0,154 296 876 017 437 900 8;
  • 27) 0,154 296 876 017 437 900 8 × 2 = 0 + 0,308 593 752 034 875 801 6;
  • 28) 0,308 593 752 034 875 801 6 × 2 = 0 + 0,617 187 504 069 751 603 2;
  • 29) 0,617 187 504 069 751 603 2 × 2 = 1 + 0,234 375 008 139 503 206 4;
  • 30) 0,234 375 008 139 503 206 4 × 2 = 0 + 0,468 750 016 279 006 412 8;
  • 31) 0,468 750 016 279 006 412 8 × 2 = 0 + 0,937 500 032 558 012 825 6;
  • 32) 0,937 500 032 558 012 825 6 × 2 = 1 + 0,875 000 065 116 025 651 2;
  • 33) 0,875 000 065 116 025 651 2 × 2 = 1 + 0,750 000 130 232 051 302 4;
  • 34) 0,750 000 130 232 051 302 4 × 2 = 1 + 0,500 000 260 464 102 604 8;
  • 35) 0,500 000 260 464 102 604 8 × 2 = 1 + 0,000 000 520 928 205 209 6;
  • 36) 0,000 000 520 928 205 209 6 × 2 = 0 + 0,000 001 041 856 410 419 2;
  • 37) 0,000 001 041 856 410 419 2 × 2 = 0 + 0,000 002 083 712 820 838 4;
  • 38) 0,000 002 083 712 820 838 4 × 2 = 0 + 0,000 004 167 425 641 676 8;
  • 39) 0,000 004 167 425 641 676 8 × 2 = 0 + 0,000 008 334 851 283 353 6;
  • 40) 0,000 008 334 851 283 353 6 × 2 = 0 + 0,000 016 669 702 566 707 2;
  • 41) 0,000 016 669 702 566 707 2 × 2 = 0 + 0,000 033 339 405 133 414 4;
  • 42) 0,000 033 339 405 133 414 4 × 2 = 0 + 0,000 066 678 810 266 828 8;
  • 43) 0,000 066 678 810 266 828 8 × 2 = 0 + 0,000 133 357 620 533 657 6;
  • 44) 0,000 133 357 620 533 657 6 × 2 = 0 + 0,000 266 715 241 067 315 2;
  • 45) 0,000 266 715 241 067 315 2 × 2 = 0 + 0,000 533 430 482 134 630 4;
  • 46) 0,000 533 430 482 134 630 4 × 2 = 0 + 0,001 066 860 964 269 260 8;
  • 47) 0,001 066 860 964 269 260 8 × 2 = 0 + 0,002 133 721 928 538 521 6;
  • 48) 0,002 133 721 928 538 521 6 × 2 = 0 + 0,004 267 443 857 077 043 2;
  • 49) 0,004 267 443 857 077 043 2 × 2 = 0 + 0,008 534 887 714 154 086 4;
  • 50) 0,008 534 887 714 154 086 4 × 2 = 0 + 0,017 069 775 428 308 172 8;
  • 51) 0,017 069 775 428 308 172 8 × 2 = 0 + 0,034 139 550 856 616 345 6;
  • 52) 0,034 139 550 856 616 345 6 × 2 = 0 + 0,068 279 101 713 232 691 2;
  • 53) 0,068 279 101 713 232 691 2 × 2 = 0 + 0,136 558 203 426 465 382 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,788 742 023 025 406 539 7(10) =

0,1100 1001 1110 1010 1111 1111 0100 1001 1110 0000 0000 0000 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

39 643,788 742 023 025 406 539 7(10) =

1001 1010 1101 1011,1100 1001 1110 1010 1111 1111 0100 1001 1110 0000 0000 0000 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


39 643,788 742 023 025 406 539 7(10) =

1001 1010 1101 1011,1100 1001 1110 1010 1111 1111 0100 1001 1110 0000 0000 0000 0000 0(2) =

1001 1010 1101 1011,1100 1001 1110 1010 1111 1111 0100 1001 1110 0000 0000 0000 0000 0(2) × 20 =

1,0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1100 0000 0000 0000 0000(2) × 215


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 15

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1100 0000 0000 0000 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

15 + 2(11-1) - 1 =

(15 + 1 023)(10) =

1 038(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 038 : 2 = 519 + 0;
  • 519 : 2 = 259 + 1;
  • 259 : 2 = 129 + 1;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1038(10) =

100 0000 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1100 0000 0000 0000 0000 =

0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1110

Mantisă (52 biți) =
0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1100


Numărul zecimal 39 643,788 742 023 025 406 539 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1110 - 0011 0101 1011 0111 1001 0011 1101 0101 1111 1110 1001 0011 1100

Distribuie

» Scriere 39 643,788 742 023 025 406 538 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100