40 075 016,685 578 485 918 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 40 075 016,685 578 485 918(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
40 075 016,685 578 485 918(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 40 075 016.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 40 075 016 : 2 = 20 037 508 + 0;
  • 20 037 508 : 2 = 10 018 754 + 0;
  • 10 018 754 : 2 = 5 009 377 + 0;
  • 5 009 377 : 2 = 2 504 688 + 1;
  • 2 504 688 : 2 = 1 252 344 + 0;
  • 1 252 344 : 2 = 626 172 + 0;
  • 626 172 : 2 = 313 086 + 0;
  • 313 086 : 2 = 156 543 + 0;
  • 156 543 : 2 = 78 271 + 1;
  • 78 271 : 2 = 39 135 + 1;
  • 39 135 : 2 = 19 567 + 1;
  • 19 567 : 2 = 9 783 + 1;
  • 9 783 : 2 = 4 891 + 1;
  • 4 891 : 2 = 2 445 + 1;
  • 2 445 : 2 = 1 222 + 1;
  • 1 222 : 2 = 611 + 0;
  • 611 : 2 = 305 + 1;
  • 305 : 2 = 152 + 1;
  • 152 : 2 = 76 + 0;
  • 76 : 2 = 38 + 0;
  • 38 : 2 = 19 + 0;
  • 19 : 2 = 9 + 1;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

40 075 016(10) =

10 0110 0011 0111 1111 0000 1000(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,685 578 485 918.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,685 578 485 918 × 2 = 1 + 0,371 156 971 836;
  • 2) 0,371 156 971 836 × 2 = 0 + 0,742 313 943 672;
  • 3) 0,742 313 943 672 × 2 = 1 + 0,484 627 887 344;
  • 4) 0,484 627 887 344 × 2 = 0 + 0,969 255 774 688;
  • 5) 0,969 255 774 688 × 2 = 1 + 0,938 511 549 376;
  • 6) 0,938 511 549 376 × 2 = 1 + 0,877 023 098 752;
  • 7) 0,877 023 098 752 × 2 = 1 + 0,754 046 197 504;
  • 8) 0,754 046 197 504 × 2 = 1 + 0,508 092 395 008;
  • 9) 0,508 092 395 008 × 2 = 1 + 0,016 184 790 016;
  • 10) 0,016 184 790 016 × 2 = 0 + 0,032 369 580 032;
  • 11) 0,032 369 580 032 × 2 = 0 + 0,064 739 160 064;
  • 12) 0,064 739 160 064 × 2 = 0 + 0,129 478 320 128;
  • 13) 0,129 478 320 128 × 2 = 0 + 0,258 956 640 256;
  • 14) 0,258 956 640 256 × 2 = 0 + 0,517 913 280 512;
  • 15) 0,517 913 280 512 × 2 = 1 + 0,035 826 561 024;
  • 16) 0,035 826 561 024 × 2 = 0 + 0,071 653 122 048;
  • 17) 0,071 653 122 048 × 2 = 0 + 0,143 306 244 096;
  • 18) 0,143 306 244 096 × 2 = 0 + 0,286 612 488 192;
  • 19) 0,286 612 488 192 × 2 = 0 + 0,573 224 976 384;
  • 20) 0,573 224 976 384 × 2 = 1 + 0,146 449 952 768;
  • 21) 0,146 449 952 768 × 2 = 0 + 0,292 899 905 536;
  • 22) 0,292 899 905 536 × 2 = 0 + 0,585 799 811 072;
  • 23) 0,585 799 811 072 × 2 = 1 + 0,171 599 622 144;
  • 24) 0,171 599 622 144 × 2 = 0 + 0,343 199 244 288;
  • 25) 0,343 199 244 288 × 2 = 0 + 0,686 398 488 576;
  • 26) 0,686 398 488 576 × 2 = 1 + 0,372 796 977 152;
  • 27) 0,372 796 977 152 × 2 = 0 + 0,745 593 954 304;
  • 28) 0,745 593 954 304 × 2 = 1 + 0,491 187 908 608;
  • 29) 0,491 187 908 608 × 2 = 0 + 0,982 375 817 216;
  • 30) 0,982 375 817 216 × 2 = 1 + 0,964 751 634 432;
  • 31) 0,964 751 634 432 × 2 = 1 + 0,929 503 268 864;
  • 32) 0,929 503 268 864 × 2 = 1 + 0,859 006 537 728;
  • 33) 0,859 006 537 728 × 2 = 1 + 0,718 013 075 456;
  • 34) 0,718 013 075 456 × 2 = 1 + 0,436 026 150 912;
  • 35) 0,436 026 150 912 × 2 = 0 + 0,872 052 301 824;
  • 36) 0,872 052 301 824 × 2 = 1 + 0,744 104 603 648;
  • 37) 0,744 104 603 648 × 2 = 1 + 0,488 209 207 296;
  • 38) 0,488 209 207 296 × 2 = 0 + 0,976 418 414 592;
  • 39) 0,976 418 414 592 × 2 = 1 + 0,952 836 829 184;
  • 40) 0,952 836 829 184 × 2 = 1 + 0,905 673 658 368;
  • 41) 0,905 673 658 368 × 2 = 1 + 0,811 347 316 736;
  • 42) 0,811 347 316 736 × 2 = 1 + 0,622 694 633 472;
  • 43) 0,622 694 633 472 × 2 = 1 + 0,245 389 266 944;
  • 44) 0,245 389 266 944 × 2 = 0 + 0,490 778 533 888;
  • 45) 0,490 778 533 888 × 2 = 0 + 0,981 557 067 776;
  • 46) 0,981 557 067 776 × 2 = 1 + 0,963 114 135 552;
  • 47) 0,963 114 135 552 × 2 = 1 + 0,926 228 271 104;
  • 48) 0,926 228 271 104 × 2 = 1 + 0,852 456 542 208;
  • 49) 0,852 456 542 208 × 2 = 1 + 0,704 913 084 416;
  • 50) 0,704 913 084 416 × 2 = 1 + 0,409 826 168 832;
  • 51) 0,409 826 168 832 × 2 = 0 + 0,819 652 337 664;
  • 52) 0,819 652 337 664 × 2 = 1 + 0,639 304 675 328;
  • 53) 0,639 304 675 328 × 2 = 1 + 0,278 609 350 656;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,685 578 485 918(10) =

0,1010 1111 1000 0010 0001 0010 0101 0111 1101 1011 1110 0111 1101 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

40 075 016,685 578 485 918(10) =

10 0110 0011 0111 1111 0000 1000,1010 1111 1000 0010 0001 0010 0101 0111 1101 1011 1110 0111 1101 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 25 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


40 075 016,685 578 485 918(10) =

10 0110 0011 0111 1111 0000 1000,1010 1111 1000 0010 0001 0010 0101 0111 1101 1011 1110 0111 1101 1(2) =

10 0110 0011 0111 1111 0000 1000,1010 1111 1000 0010 0001 0010 0101 0111 1101 1011 1110 0111 1101 1(2) × 20 =

1,0011 0001 1011 1111 1000 0100 0101 0111 1100 0001 0000 1001 0010 1011 1110 1101 1111 0011 1110 11(2) × 225


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 25

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0001 1011 1111 1000 0100 0101 0111 1100 0001 0000 1001 0010 1011 1110 1101 1111 0011 1110 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

25 + 2(11-1) - 1 =

(25 + 1 023)(10) =

1 048(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 048 : 2 = 524 + 0;
  • 524 : 2 = 262 + 0;
  • 262 : 2 = 131 + 0;
  • 131 : 2 = 65 + 1;
  • 65 : 2 = 32 + 1;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1048(10) =

100 0001 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0001 1011 1111 1000 0100 0101 0111 1100 0001 0000 1001 0010 10 1111 1011 0111 1100 1111 1011 =

0011 0001 1011 1111 1000 0100 0101 0111 1100 0001 0000 1001 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0001 1000

Mantisă (52 biți) =
0011 0001 1011 1111 1000 0100 0101 0111 1100 0001 0000 1001 0010


Numărul zecimal 40 075 016,685 578 485 918 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0001 1000 - 0011 0001 1011 1111 1000 0100 0101 0111 1100 0001 0000 1001 0010

Distribuie

» Scriere 40 075 016,685 578 485 946 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100