40 075 016,685 578 486 143 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 40 075 016,685 578 486 143(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
40 075 016,685 578 486 143(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 40 075 016.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 40 075 016 : 2 = 20 037 508 + 0;
  • 20 037 508 : 2 = 10 018 754 + 0;
  • 10 018 754 : 2 = 5 009 377 + 0;
  • 5 009 377 : 2 = 2 504 688 + 1;
  • 2 504 688 : 2 = 1 252 344 + 0;
  • 1 252 344 : 2 = 626 172 + 0;
  • 626 172 : 2 = 313 086 + 0;
  • 313 086 : 2 = 156 543 + 0;
  • 156 543 : 2 = 78 271 + 1;
  • 78 271 : 2 = 39 135 + 1;
  • 39 135 : 2 = 19 567 + 1;
  • 19 567 : 2 = 9 783 + 1;
  • 9 783 : 2 = 4 891 + 1;
  • 4 891 : 2 = 2 445 + 1;
  • 2 445 : 2 = 1 222 + 1;
  • 1 222 : 2 = 611 + 0;
  • 611 : 2 = 305 + 1;
  • 305 : 2 = 152 + 1;
  • 152 : 2 = 76 + 0;
  • 76 : 2 = 38 + 0;
  • 38 : 2 = 19 + 0;
  • 19 : 2 = 9 + 1;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

40 075 016(10) =

10 0110 0011 0111 1111 0000 1000(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,685 578 486 143.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,685 578 486 143 × 2 = 1 + 0,371 156 972 286;
  • 2) 0,371 156 972 286 × 2 = 0 + 0,742 313 944 572;
  • 3) 0,742 313 944 572 × 2 = 1 + 0,484 627 889 144;
  • 4) 0,484 627 889 144 × 2 = 0 + 0,969 255 778 288;
  • 5) 0,969 255 778 288 × 2 = 1 + 0,938 511 556 576;
  • 6) 0,938 511 556 576 × 2 = 1 + 0,877 023 113 152;
  • 7) 0,877 023 113 152 × 2 = 1 + 0,754 046 226 304;
  • 8) 0,754 046 226 304 × 2 = 1 + 0,508 092 452 608;
  • 9) 0,508 092 452 608 × 2 = 1 + 0,016 184 905 216;
  • 10) 0,016 184 905 216 × 2 = 0 + 0,032 369 810 432;
  • 11) 0,032 369 810 432 × 2 = 0 + 0,064 739 620 864;
  • 12) 0,064 739 620 864 × 2 = 0 + 0,129 479 241 728;
  • 13) 0,129 479 241 728 × 2 = 0 + 0,258 958 483 456;
  • 14) 0,258 958 483 456 × 2 = 0 + 0,517 916 966 912;
  • 15) 0,517 916 966 912 × 2 = 1 + 0,035 833 933 824;
  • 16) 0,035 833 933 824 × 2 = 0 + 0,071 667 867 648;
  • 17) 0,071 667 867 648 × 2 = 0 + 0,143 335 735 296;
  • 18) 0,143 335 735 296 × 2 = 0 + 0,286 671 470 592;
  • 19) 0,286 671 470 592 × 2 = 0 + 0,573 342 941 184;
  • 20) 0,573 342 941 184 × 2 = 1 + 0,146 685 882 368;
  • 21) 0,146 685 882 368 × 2 = 0 + 0,293 371 764 736;
  • 22) 0,293 371 764 736 × 2 = 0 + 0,586 743 529 472;
  • 23) 0,586 743 529 472 × 2 = 1 + 0,173 487 058 944;
  • 24) 0,173 487 058 944 × 2 = 0 + 0,346 974 117 888;
  • 25) 0,346 974 117 888 × 2 = 0 + 0,693 948 235 776;
  • 26) 0,693 948 235 776 × 2 = 1 + 0,387 896 471 552;
  • 27) 0,387 896 471 552 × 2 = 0 + 0,775 792 943 104;
  • 28) 0,775 792 943 104 × 2 = 1 + 0,551 585 886 208;
  • 29) 0,551 585 886 208 × 2 = 1 + 0,103 171 772 416;
  • 30) 0,103 171 772 416 × 2 = 0 + 0,206 343 544 832;
  • 31) 0,206 343 544 832 × 2 = 0 + 0,412 687 089 664;
  • 32) 0,412 687 089 664 × 2 = 0 + 0,825 374 179 328;
  • 33) 0,825 374 179 328 × 2 = 1 + 0,650 748 358 656;
  • 34) 0,650 748 358 656 × 2 = 1 + 0,301 496 717 312;
  • 35) 0,301 496 717 312 × 2 = 0 + 0,602 993 434 624;
  • 36) 0,602 993 434 624 × 2 = 1 + 0,205 986 869 248;
  • 37) 0,205 986 869 248 × 2 = 0 + 0,411 973 738 496;
  • 38) 0,411 973 738 496 × 2 = 0 + 0,823 947 476 992;
  • 39) 0,823 947 476 992 × 2 = 1 + 0,647 894 953 984;
  • 40) 0,647 894 953 984 × 2 = 1 + 0,295 789 907 968;
  • 41) 0,295 789 907 968 × 2 = 0 + 0,591 579 815 936;
  • 42) 0,591 579 815 936 × 2 = 1 + 0,183 159 631 872;
  • 43) 0,183 159 631 872 × 2 = 0 + 0,366 319 263 744;
  • 44) 0,366 319 263 744 × 2 = 0 + 0,732 638 527 488;
  • 45) 0,732 638 527 488 × 2 = 1 + 0,465 277 054 976;
  • 46) 0,465 277 054 976 × 2 = 0 + 0,930 554 109 952;
  • 47) 0,930 554 109 952 × 2 = 1 + 0,861 108 219 904;
  • 48) 0,861 108 219 904 × 2 = 1 + 0,722 216 439 808;
  • 49) 0,722 216 439 808 × 2 = 1 + 0,444 432 879 616;
  • 50) 0,444 432 879 616 × 2 = 0 + 0,888 865 759 232;
  • 51) 0,888 865 759 232 × 2 = 1 + 0,777 731 518 464;
  • 52) 0,777 731 518 464 × 2 = 1 + 0,555 463 036 928;
  • 53) 0,555 463 036 928 × 2 = 1 + 0,110 926 073 856;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,685 578 486 143(10) =

0,1010 1111 1000 0010 0001 0010 0101 1000 1101 0011 0100 1011 1011 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

40 075 016,685 578 486 143(10) =

10 0110 0011 0111 1111 0000 1000,1010 1111 1000 0010 0001 0010 0101 1000 1101 0011 0100 1011 1011 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 25 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


40 075 016,685 578 486 143(10) =

10 0110 0011 0111 1111 0000 1000,1010 1111 1000 0010 0001 0010 0101 1000 1101 0011 0100 1011 1011 1(2) =

10 0110 0011 0111 1111 0000 1000,1010 1111 1000 0010 0001 0010 0101 1000 1101 0011 0100 1011 1011 1(2) × 20 =

1,0011 0001 1011 1111 1000 0100 0101 0111 1100 0001 0000 1001 0010 1100 0110 1001 1010 0101 1101 11(2) × 225


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 25

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0001 1011 1111 1000 0100 0101 0111 1100 0001 0000 1001 0010 1100 0110 1001 1010 0101 1101 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

25 + 2(11-1) - 1 =

(25 + 1 023)(10) =

1 048(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 048 : 2 = 524 + 0;
  • 524 : 2 = 262 + 0;
  • 262 : 2 = 131 + 0;
  • 131 : 2 = 65 + 1;
  • 65 : 2 = 32 + 1;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1048(10) =

100 0001 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0001 1011 1111 1000 0100 0101 0111 1100 0001 0000 1001 0010 11 0001 1010 0110 1001 0111 0111 =

0011 0001 1011 1111 1000 0100 0101 0111 1100 0001 0000 1001 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0001 1000

Mantisă (52 biți) =
0011 0001 1011 1111 1000 0100 0101 0111 1100 0001 0000 1001 0010


Numărul zecimal 40 075 016,685 578 486 143 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0001 1000 - 0011 0001 1011 1111 1000 0100 0101 0111 1100 0001 0000 1001 0010

Distribuie

» Scriere 40 075 016,685 578 486 211 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100