43 144,598 907 771 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 43 144,598 907 771(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
43 144,598 907 771(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 43 144.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 43 144 : 2 = 21 572 + 0;
  • 21 572 : 2 = 10 786 + 0;
  • 10 786 : 2 = 5 393 + 0;
  • 5 393 : 2 = 2 696 + 1;
  • 2 696 : 2 = 1 348 + 0;
  • 1 348 : 2 = 674 + 0;
  • 674 : 2 = 337 + 0;
  • 337 : 2 = 168 + 1;
  • 168 : 2 = 84 + 0;
  • 84 : 2 = 42 + 0;
  • 42 : 2 = 21 + 0;
  • 21 : 2 = 10 + 1;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

43 144(10) =

1010 1000 1000 1000(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,598 907 771.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,598 907 771 × 2 = 1 + 0,197 815 542;
  • 2) 0,197 815 542 × 2 = 0 + 0,395 631 084;
  • 3) 0,395 631 084 × 2 = 0 + 0,791 262 168;
  • 4) 0,791 262 168 × 2 = 1 + 0,582 524 336;
  • 5) 0,582 524 336 × 2 = 1 + 0,165 048 672;
  • 6) 0,165 048 672 × 2 = 0 + 0,330 097 344;
  • 7) 0,330 097 344 × 2 = 0 + 0,660 194 688;
  • 8) 0,660 194 688 × 2 = 1 + 0,320 389 376;
  • 9) 0,320 389 376 × 2 = 0 + 0,640 778 752;
  • 10) 0,640 778 752 × 2 = 1 + 0,281 557 504;
  • 11) 0,281 557 504 × 2 = 0 + 0,563 115 008;
  • 12) 0,563 115 008 × 2 = 1 + 0,126 230 016;
  • 13) 0,126 230 016 × 2 = 0 + 0,252 460 032;
  • 14) 0,252 460 032 × 2 = 0 + 0,504 920 064;
  • 15) 0,504 920 064 × 2 = 1 + 0,009 840 128;
  • 16) 0,009 840 128 × 2 = 0 + 0,019 680 256;
  • 17) 0,019 680 256 × 2 = 0 + 0,039 360 512;
  • 18) 0,039 360 512 × 2 = 0 + 0,078 721 024;
  • 19) 0,078 721 024 × 2 = 0 + 0,157 442 048;
  • 20) 0,157 442 048 × 2 = 0 + 0,314 884 096;
  • 21) 0,314 884 096 × 2 = 0 + 0,629 768 192;
  • 22) 0,629 768 192 × 2 = 1 + 0,259 536 384;
  • 23) 0,259 536 384 × 2 = 0 + 0,519 072 768;
  • 24) 0,519 072 768 × 2 = 1 + 0,038 145 536;
  • 25) 0,038 145 536 × 2 = 0 + 0,076 291 072;
  • 26) 0,076 291 072 × 2 = 0 + 0,152 582 144;
  • 27) 0,152 582 144 × 2 = 0 + 0,305 164 288;
  • 28) 0,305 164 288 × 2 = 0 + 0,610 328 576;
  • 29) 0,610 328 576 × 2 = 1 + 0,220 657 152;
  • 30) 0,220 657 152 × 2 = 0 + 0,441 314 304;
  • 31) 0,441 314 304 × 2 = 0 + 0,882 628 608;
  • 32) 0,882 628 608 × 2 = 1 + 0,765 257 216;
  • 33) 0,765 257 216 × 2 = 1 + 0,530 514 432;
  • 34) 0,530 514 432 × 2 = 1 + 0,061 028 864;
  • 35) 0,061 028 864 × 2 = 0 + 0,122 057 728;
  • 36) 0,122 057 728 × 2 = 0 + 0,244 115 456;
  • 37) 0,244 115 456 × 2 = 0 + 0,488 230 912;
  • 38) 0,488 230 912 × 2 = 0 + 0,976 461 824;
  • 39) 0,976 461 824 × 2 = 1 + 0,952 923 648;
  • 40) 0,952 923 648 × 2 = 1 + 0,905 847 296;
  • 41) 0,905 847 296 × 2 = 1 + 0,811 694 592;
  • 42) 0,811 694 592 × 2 = 1 + 0,623 389 184;
  • 43) 0,623 389 184 × 2 = 1 + 0,246 778 368;
  • 44) 0,246 778 368 × 2 = 0 + 0,493 556 736;
  • 45) 0,493 556 736 × 2 = 0 + 0,987 113 472;
  • 46) 0,987 113 472 × 2 = 1 + 0,974 226 944;
  • 47) 0,974 226 944 × 2 = 1 + 0,948 453 888;
  • 48) 0,948 453 888 × 2 = 1 + 0,896 907 776;
  • 49) 0,896 907 776 × 2 = 1 + 0,793 815 552;
  • 50) 0,793 815 552 × 2 = 1 + 0,587 631 104;
  • 51) 0,587 631 104 × 2 = 1 + 0,175 262 208;
  • 52) 0,175 262 208 × 2 = 0 + 0,350 524 416;
  • 53) 0,350 524 416 × 2 = 0 + 0,701 048 832;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,598 907 771(10) =

0,1001 1001 0101 0010 0000 0101 0000 1001 1100 0011 1110 0111 1110 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

43 144,598 907 771(10) =

1010 1000 1000 1000,1001 1001 0101 0010 0000 0101 0000 1001 1100 0011 1110 0111 1110 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


43 144,598 907 771(10) =

1010 1000 1000 1000,1001 1001 0101 0010 0000 0101 0000 1001 1100 0011 1110 0111 1110 0(2) =

1010 1000 1000 1000,1001 1001 0101 0010 0000 0101 0000 1001 1100 0011 1110 0111 1110 0(2) × 20 =

1,0101 0001 0001 0001 0011 0010 1010 0100 0000 1010 0001 0011 1000 0111 1100 1111 1100(2) × 215


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 15

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 0001 0001 0001 0011 0010 1010 0100 0000 1010 0001 0011 1000 0111 1100 1111 1100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

15 + 2(11-1) - 1 =

(15 + 1 023)(10) =

1 038(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 038 : 2 = 519 + 0;
  • 519 : 2 = 259 + 1;
  • 259 : 2 = 129 + 1;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1038(10) =

100 0000 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 0001 0001 0001 0011 0010 1010 0100 0000 1010 0001 0011 1000 0111 1100 1111 1100 =

0101 0001 0001 0001 0011 0010 1010 0100 0000 1010 0001 0011 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1110

Mantisă (52 biți) =
0101 0001 0001 0001 0011 0010 1010 0100 0000 1010 0001 0011 1000


Numărul zecimal 43 144,598 907 771 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1110 - 0101 0001 0001 0001 0011 0010 1010 0100 0000 1010 0001 0011 1000

» Scriere 43 144,598 907 84 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100