46 258,162 393 728 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 46 258,162 393 728 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
46 258,162 393 728 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 46 258.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 46 258 : 2 = 23 129 + 0;
  • 23 129 : 2 = 11 564 + 1;
  • 11 564 : 2 = 5 782 + 0;
  • 5 782 : 2 = 2 891 + 0;
  • 2 891 : 2 = 1 445 + 1;
  • 1 445 : 2 = 722 + 1;
  • 722 : 2 = 361 + 0;
  • 361 : 2 = 180 + 1;
  • 180 : 2 = 90 + 0;
  • 90 : 2 = 45 + 0;
  • 45 : 2 = 22 + 1;
  • 22 : 2 = 11 + 0;
  • 11 : 2 = 5 + 1;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

46 258(10) =

1011 0100 1011 0010(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,162 393 728 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,162 393 728 4 × 2 = 0 + 0,324 787 456 8;
  • 2) 0,324 787 456 8 × 2 = 0 + 0,649 574 913 6;
  • 3) 0,649 574 913 6 × 2 = 1 + 0,299 149 827 2;
  • 4) 0,299 149 827 2 × 2 = 0 + 0,598 299 654 4;
  • 5) 0,598 299 654 4 × 2 = 1 + 0,196 599 308 8;
  • 6) 0,196 599 308 8 × 2 = 0 + 0,393 198 617 6;
  • 7) 0,393 198 617 6 × 2 = 0 + 0,786 397 235 2;
  • 8) 0,786 397 235 2 × 2 = 1 + 0,572 794 470 4;
  • 9) 0,572 794 470 4 × 2 = 1 + 0,145 588 940 8;
  • 10) 0,145 588 940 8 × 2 = 0 + 0,291 177 881 6;
  • 11) 0,291 177 881 6 × 2 = 0 + 0,582 355 763 2;
  • 12) 0,582 355 763 2 × 2 = 1 + 0,164 711 526 4;
  • 13) 0,164 711 526 4 × 2 = 0 + 0,329 423 052 8;
  • 14) 0,329 423 052 8 × 2 = 0 + 0,658 846 105 6;
  • 15) 0,658 846 105 6 × 2 = 1 + 0,317 692 211 2;
  • 16) 0,317 692 211 2 × 2 = 0 + 0,635 384 422 4;
  • 17) 0,635 384 422 4 × 2 = 1 + 0,270 768 844 8;
  • 18) 0,270 768 844 8 × 2 = 0 + 0,541 537 689 6;
  • 19) 0,541 537 689 6 × 2 = 1 + 0,083 075 379 2;
  • 20) 0,083 075 379 2 × 2 = 0 + 0,166 150 758 4;
  • 21) 0,166 150 758 4 × 2 = 0 + 0,332 301 516 8;
  • 22) 0,332 301 516 8 × 2 = 0 + 0,664 603 033 6;
  • 23) 0,664 603 033 6 × 2 = 1 + 0,329 206 067 2;
  • 24) 0,329 206 067 2 × 2 = 0 + 0,658 412 134 4;
  • 25) 0,658 412 134 4 × 2 = 1 + 0,316 824 268 8;
  • 26) 0,316 824 268 8 × 2 = 0 + 0,633 648 537 6;
  • 27) 0,633 648 537 6 × 2 = 1 + 0,267 297 075 2;
  • 28) 0,267 297 075 2 × 2 = 0 + 0,534 594 150 4;
  • 29) 0,534 594 150 4 × 2 = 1 + 0,069 188 300 8;
  • 30) 0,069 188 300 8 × 2 = 0 + 0,138 376 601 6;
  • 31) 0,138 376 601 6 × 2 = 0 + 0,276 753 203 2;
  • 32) 0,276 753 203 2 × 2 = 0 + 0,553 506 406 4;
  • 33) 0,553 506 406 4 × 2 = 1 + 0,107 012 812 8;
  • 34) 0,107 012 812 8 × 2 = 0 + 0,214 025 625 6;
  • 35) 0,214 025 625 6 × 2 = 0 + 0,428 051 251 2;
  • 36) 0,428 051 251 2 × 2 = 0 + 0,856 102 502 4;
  • 37) 0,856 102 502 4 × 2 = 1 + 0,712 205 004 8;
  • 38) 0,712 205 004 8 × 2 = 1 + 0,424 410 009 6;
  • 39) 0,424 410 009 6 × 2 = 0 + 0,848 820 019 2;
  • 40) 0,848 820 019 2 × 2 = 1 + 0,697 640 038 4;
  • 41) 0,697 640 038 4 × 2 = 1 + 0,395 280 076 8;
  • 42) 0,395 280 076 8 × 2 = 0 + 0,790 560 153 6;
  • 43) 0,790 560 153 6 × 2 = 1 + 0,581 120 307 2;
  • 44) 0,581 120 307 2 × 2 = 1 + 0,162 240 614 4;
  • 45) 0,162 240 614 4 × 2 = 0 + 0,324 481 228 8;
  • 46) 0,324 481 228 8 × 2 = 0 + 0,648 962 457 6;
  • 47) 0,648 962 457 6 × 2 = 1 + 0,297 924 915 2;
  • 48) 0,297 924 915 2 × 2 = 0 + 0,595 849 830 4;
  • 49) 0,595 849 830 4 × 2 = 1 + 0,191 699 660 8;
  • 50) 0,191 699 660 8 × 2 = 0 + 0,383 399 321 6;
  • 51) 0,383 399 321 6 × 2 = 0 + 0,766 798 643 2;
  • 52) 0,766 798 643 2 × 2 = 1 + 0,533 597 286 4;
  • 53) 0,533 597 286 4 × 2 = 1 + 0,067 194 572 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,162 393 728 4(10) =

0,0010 1001 1001 0010 1010 0010 1010 1000 1000 1101 1011 0010 1001 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

46 258,162 393 728 4(10) =

1011 0100 1011 0010,0010 1001 1001 0010 1010 0010 1010 1000 1000 1101 1011 0010 1001 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


46 258,162 393 728 4(10) =

1011 0100 1011 0010,0010 1001 1001 0010 1010 0010 1010 1000 1000 1101 1011 0010 1001 1(2) =

1011 0100 1011 0010,0010 1001 1001 0010 1010 0010 1010 1000 1000 1101 1011 0010 1001 1(2) × 20 =

1,0110 1001 0110 0100 0101 0011 0010 0101 0100 0101 0101 0001 0001 1011 0110 0101 0011(2) × 215


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 15

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 1001 0110 0100 0101 0011 0010 0101 0100 0101 0101 0001 0001 1011 0110 0101 0011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

15 + 2(11-1) - 1 =

(15 + 1 023)(10) =

1 038(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 038 : 2 = 519 + 0;
  • 519 : 2 = 259 + 1;
  • 259 : 2 = 129 + 1;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1038(10) =

100 0000 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 1001 0110 0100 0101 0011 0010 0101 0100 0101 0101 0001 0001 1011 0110 0101 0011 =

0110 1001 0110 0100 0101 0011 0010 0101 0100 0101 0101 0001 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1110

Mantisă (52 biți) =
0110 1001 0110 0100 0101 0011 0010 0101 0100 0101 0101 0001 0001


Numărul zecimal 46 258,162 393 728 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1110 - 0110 1001 0110 0100 0101 0011 0010 0101 0100 0101 0101 0001 0001

Distribuie

» Scriere 46 258,162 393 727 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100