4 931,994 733 997 813 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 4 931,994 733 997 813 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
4 931,994 733 997 813 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 4 931.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 4 931 : 2 = 2 465 + 1;
  • 2 465 : 2 = 1 232 + 1;
  • 1 232 : 2 = 616 + 0;
  • 616 : 2 = 308 + 0;
  • 308 : 2 = 154 + 0;
  • 154 : 2 = 77 + 0;
  • 77 : 2 = 38 + 1;
  • 38 : 2 = 19 + 0;
  • 19 : 2 = 9 + 1;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

4 931(10) =

1 0011 0100 0011(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,994 733 997 813 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,994 733 997 813 5 × 2 = 1 + 0,989 467 995 627;
  • 2) 0,989 467 995 627 × 2 = 1 + 0,978 935 991 254;
  • 3) 0,978 935 991 254 × 2 = 1 + 0,957 871 982 508;
  • 4) 0,957 871 982 508 × 2 = 1 + 0,915 743 965 016;
  • 5) 0,915 743 965 016 × 2 = 1 + 0,831 487 930 032;
  • 6) 0,831 487 930 032 × 2 = 1 + 0,662 975 860 064;
  • 7) 0,662 975 860 064 × 2 = 1 + 0,325 951 720 128;
  • 8) 0,325 951 720 128 × 2 = 0 + 0,651 903 440 256;
  • 9) 0,651 903 440 256 × 2 = 1 + 0,303 806 880 512;
  • 10) 0,303 806 880 512 × 2 = 0 + 0,607 613 761 024;
  • 11) 0,607 613 761 024 × 2 = 1 + 0,215 227 522 048;
  • 12) 0,215 227 522 048 × 2 = 0 + 0,430 455 044 096;
  • 13) 0,430 455 044 096 × 2 = 0 + 0,860 910 088 192;
  • 14) 0,860 910 088 192 × 2 = 1 + 0,721 820 176 384;
  • 15) 0,721 820 176 384 × 2 = 1 + 0,443 640 352 768;
  • 16) 0,443 640 352 768 × 2 = 0 + 0,887 280 705 536;
  • 17) 0,887 280 705 536 × 2 = 1 + 0,774 561 411 072;
  • 18) 0,774 561 411 072 × 2 = 1 + 0,549 122 822 144;
  • 19) 0,549 122 822 144 × 2 = 1 + 0,098 245 644 288;
  • 20) 0,098 245 644 288 × 2 = 0 + 0,196 491 288 576;
  • 21) 0,196 491 288 576 × 2 = 0 + 0,392 982 577 152;
  • 22) 0,392 982 577 152 × 2 = 0 + 0,785 965 154 304;
  • 23) 0,785 965 154 304 × 2 = 1 + 0,571 930 308 608;
  • 24) 0,571 930 308 608 × 2 = 1 + 0,143 860 617 216;
  • 25) 0,143 860 617 216 × 2 = 0 + 0,287 721 234 432;
  • 26) 0,287 721 234 432 × 2 = 0 + 0,575 442 468 864;
  • 27) 0,575 442 468 864 × 2 = 1 + 0,150 884 937 728;
  • 28) 0,150 884 937 728 × 2 = 0 + 0,301 769 875 456;
  • 29) 0,301 769 875 456 × 2 = 0 + 0,603 539 750 912;
  • 30) 0,603 539 750 912 × 2 = 1 + 0,207 079 501 824;
  • 31) 0,207 079 501 824 × 2 = 0 + 0,414 159 003 648;
  • 32) 0,414 159 003 648 × 2 = 0 + 0,828 318 007 296;
  • 33) 0,828 318 007 296 × 2 = 1 + 0,656 636 014 592;
  • 34) 0,656 636 014 592 × 2 = 1 + 0,313 272 029 184;
  • 35) 0,313 272 029 184 × 2 = 0 + 0,626 544 058 368;
  • 36) 0,626 544 058 368 × 2 = 1 + 0,253 088 116 736;
  • 37) 0,253 088 116 736 × 2 = 0 + 0,506 176 233 472;
  • 38) 0,506 176 233 472 × 2 = 1 + 0,012 352 466 944;
  • 39) 0,012 352 466 944 × 2 = 0 + 0,024 704 933 888;
  • 40) 0,024 704 933 888 × 2 = 0 + 0,049 409 867 776;
  • 41) 0,049 409 867 776 × 2 = 0 + 0,098 819 735 552;
  • 42) 0,098 819 735 552 × 2 = 0 + 0,197 639 471 104;
  • 43) 0,197 639 471 104 × 2 = 0 + 0,395 278 942 208;
  • 44) 0,395 278 942 208 × 2 = 0 + 0,790 557 884 416;
  • 45) 0,790 557 884 416 × 2 = 1 + 0,581 115 768 832;
  • 46) 0,581 115 768 832 × 2 = 1 + 0,162 231 537 664;
  • 47) 0,162 231 537 664 × 2 = 0 + 0,324 463 075 328;
  • 48) 0,324 463 075 328 × 2 = 0 + 0,648 926 150 656;
  • 49) 0,648 926 150 656 × 2 = 1 + 0,297 852 301 312;
  • 50) 0,297 852 301 312 × 2 = 0 + 0,595 704 602 624;
  • 51) 0,595 704 602 624 × 2 = 1 + 0,191 409 205 248;
  • 52) 0,191 409 205 248 × 2 = 0 + 0,382 818 410 496;
  • 53) 0,382 818 410 496 × 2 = 0 + 0,765 636 820 992;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,994 733 997 813 5(10) =

0,1111 1110 1010 0110 1110 0011 0010 0100 1101 0100 0000 1100 1010 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

4 931,994 733 997 813 5(10) =

1 0011 0100 0011,1111 1110 1010 0110 1110 0011 0010 0100 1101 0100 0000 1100 1010 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


4 931,994 733 997 813 5(10) =

1 0011 0100 0011,1111 1110 1010 0110 1110 0011 0010 0100 1101 0100 0000 1100 1010 0(2) =

1 0011 0100 0011,1111 1110 1010 0110 1110 0011 0010 0100 1101 0100 0000 1100 1010 0(2) × 20 =

1,0011 0100 0011 1111 1110 1010 0110 1110 0011 0010 0100 1101 0100 0000 1100 1010 0(2) × 212


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 12

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0100 0011 1111 1110 1010 0110 1110 0011 0010 0100 1101 0100 0000 1100 1010 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

12 + 2(11-1) - 1 =

(12 + 1 023)(10) =

1 035(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 035 : 2 = 517 + 1;
  • 517 : 2 = 258 + 1;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1035(10) =

100 0000 1011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0100 0011 1111 1110 1010 0110 1110 0011 0010 0100 1101 0100 0 0001 1001 0100 =

0011 0100 0011 1111 1110 1010 0110 1110 0011 0010 0100 1101 0100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1011

Mantisă (52 biți) =
0011 0100 0011 1111 1110 1010 0110 1110 0011 0010 0100 1101 0100


Numărul zecimal 4 931,994 733 997 813 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1011 - 0011 0100 0011 1111 1110 1010 0110 1110 0011 0010 0100 1101 0100

Distribuie

» Scriere 4 931,994 733 997 805 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100