5,919 999 999 999 999 928 935 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 5,919 999 999 999 999 928 935(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
5,919 999 999 999 999 928 935(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 5.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

5(10) =

101(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,919 999 999 999 999 928 935.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,919 999 999 999 999 928 935 × 2 = 1 + 0,839 999 999 999 999 857 87;
  • 2) 0,839 999 999 999 999 857 87 × 2 = 1 + 0,679 999 999 999 999 715 74;
  • 3) 0,679 999 999 999 999 715 74 × 2 = 1 + 0,359 999 999 999 999 431 48;
  • 4) 0,359 999 999 999 999 431 48 × 2 = 0 + 0,719 999 999 999 998 862 96;
  • 5) 0,719 999 999 999 998 862 96 × 2 = 1 + 0,439 999 999 999 997 725 92;
  • 6) 0,439 999 999 999 997 725 92 × 2 = 0 + 0,879 999 999 999 995 451 84;
  • 7) 0,879 999 999 999 995 451 84 × 2 = 1 + 0,759 999 999 999 990 903 68;
  • 8) 0,759 999 999 999 990 903 68 × 2 = 1 + 0,519 999 999 999 981 807 36;
  • 9) 0,519 999 999 999 981 807 36 × 2 = 1 + 0,039 999 999 999 963 614 72;
  • 10) 0,039 999 999 999 963 614 72 × 2 = 0 + 0,079 999 999 999 927 229 44;
  • 11) 0,079 999 999 999 927 229 44 × 2 = 0 + 0,159 999 999 999 854 458 88;
  • 12) 0,159 999 999 999 854 458 88 × 2 = 0 + 0,319 999 999 999 708 917 76;
  • 13) 0,319 999 999 999 708 917 76 × 2 = 0 + 0,639 999 999 999 417 835 52;
  • 14) 0,639 999 999 999 417 835 52 × 2 = 1 + 0,279 999 999 998 835 671 04;
  • 15) 0,279 999 999 998 835 671 04 × 2 = 0 + 0,559 999 999 997 671 342 08;
  • 16) 0,559 999 999 997 671 342 08 × 2 = 1 + 0,119 999 999 995 342 684 16;
  • 17) 0,119 999 999 995 342 684 16 × 2 = 0 + 0,239 999 999 990 685 368 32;
  • 18) 0,239 999 999 990 685 368 32 × 2 = 0 + 0,479 999 999 981 370 736 64;
  • 19) 0,479 999 999 981 370 736 64 × 2 = 0 + 0,959 999 999 962 741 473 28;
  • 20) 0,959 999 999 962 741 473 28 × 2 = 1 + 0,919 999 999 925 482 946 56;
  • 21) 0,919 999 999 925 482 946 56 × 2 = 1 + 0,839 999 999 850 965 893 12;
  • 22) 0,839 999 999 850 965 893 12 × 2 = 1 + 0,679 999 999 701 931 786 24;
  • 23) 0,679 999 999 701 931 786 24 × 2 = 1 + 0,359 999 999 403 863 572 48;
  • 24) 0,359 999 999 403 863 572 48 × 2 = 0 + 0,719 999 998 807 727 144 96;
  • 25) 0,719 999 998 807 727 144 96 × 2 = 1 + 0,439 999 997 615 454 289 92;
  • 26) 0,439 999 997 615 454 289 92 × 2 = 0 + 0,879 999 995 230 908 579 84;
  • 27) 0,879 999 995 230 908 579 84 × 2 = 1 + 0,759 999 990 461 817 159 68;
  • 28) 0,759 999 990 461 817 159 68 × 2 = 1 + 0,519 999 980 923 634 319 36;
  • 29) 0,519 999 980 923 634 319 36 × 2 = 1 + 0,039 999 961 847 268 638 72;
  • 30) 0,039 999 961 847 268 638 72 × 2 = 0 + 0,079 999 923 694 537 277 44;
  • 31) 0,079 999 923 694 537 277 44 × 2 = 0 + 0,159 999 847 389 074 554 88;
  • 32) 0,159 999 847 389 074 554 88 × 2 = 0 + 0,319 999 694 778 149 109 76;
  • 33) 0,319 999 694 778 149 109 76 × 2 = 0 + 0,639 999 389 556 298 219 52;
  • 34) 0,639 999 389 556 298 219 52 × 2 = 1 + 0,279 998 779 112 596 439 04;
  • 35) 0,279 998 779 112 596 439 04 × 2 = 0 + 0,559 997 558 225 192 878 08;
  • 36) 0,559 997 558 225 192 878 08 × 2 = 1 + 0,119 995 116 450 385 756 16;
  • 37) 0,119 995 116 450 385 756 16 × 2 = 0 + 0,239 990 232 900 771 512 32;
  • 38) 0,239 990 232 900 771 512 32 × 2 = 0 + 0,479 980 465 801 543 024 64;
  • 39) 0,479 980 465 801 543 024 64 × 2 = 0 + 0,959 960 931 603 086 049 28;
  • 40) 0,959 960 931 603 086 049 28 × 2 = 1 + 0,919 921 863 206 172 098 56;
  • 41) 0,919 921 863 206 172 098 56 × 2 = 1 + 0,839 843 726 412 344 197 12;
  • 42) 0,839 843 726 412 344 197 12 × 2 = 1 + 0,679 687 452 824 688 394 24;
  • 43) 0,679 687 452 824 688 394 24 × 2 = 1 + 0,359 374 905 649 376 788 48;
  • 44) 0,359 374 905 649 376 788 48 × 2 = 0 + 0,718 749 811 298 753 576 96;
  • 45) 0,718 749 811 298 753 576 96 × 2 = 1 + 0,437 499 622 597 507 153 92;
  • 46) 0,437 499 622 597 507 153 92 × 2 = 0 + 0,874 999 245 195 014 307 84;
  • 47) 0,874 999 245 195 014 307 84 × 2 = 1 + 0,749 998 490 390 028 615 68;
  • 48) 0,749 998 490 390 028 615 68 × 2 = 1 + 0,499 996 980 780 057 231 36;
  • 49) 0,499 996 980 780 057 231 36 × 2 = 0 + 0,999 993 961 560 114 462 72;
  • 50) 0,999 993 961 560 114 462 72 × 2 = 1 + 0,999 987 923 120 228 925 44;
  • 51) 0,999 987 923 120 228 925 44 × 2 = 1 + 0,999 975 846 240 457 850 88;
  • 52) 0,999 975 846 240 457 850 88 × 2 = 1 + 0,999 951 692 480 915 701 76;
  • 53) 0,999 951 692 480 915 701 76 × 2 = 1 + 0,999 903 384 961 831 403 52;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,919 999 999 999 999 928 935(10) =

0,1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

5,919 999 999 999 999 928 935(10) =

101,1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


5,919 999 999 999 999 928 935(10) =

101,1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1(2) =

101,1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1(2) × 20 =

1,0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1101 111(2) × 22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1101 111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1101 111 =

0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1101


Numărul zecimal 5,919 999 999 999 999 928 935 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0001 - 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1101

Distribuie

» Scriere 5,919 999 999 999 999 928 962 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100