5,919 999 999 999 999 928 966 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 5,919 999 999 999 999 928 966 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
5,919 999 999 999 999 928 966 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 5.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

5(10) =

101(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,919 999 999 999 999 928 966 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,919 999 999 999 999 928 966 3 × 2 = 1 + 0,839 999 999 999 999 857 932 6;
  • 2) 0,839 999 999 999 999 857 932 6 × 2 = 1 + 0,679 999 999 999 999 715 865 2;
  • 3) 0,679 999 999 999 999 715 865 2 × 2 = 1 + 0,359 999 999 999 999 431 730 4;
  • 4) 0,359 999 999 999 999 431 730 4 × 2 = 0 + 0,719 999 999 999 998 863 460 8;
  • 5) 0,719 999 999 999 998 863 460 8 × 2 = 1 + 0,439 999 999 999 997 726 921 6;
  • 6) 0,439 999 999 999 997 726 921 6 × 2 = 0 + 0,879 999 999 999 995 453 843 2;
  • 7) 0,879 999 999 999 995 453 843 2 × 2 = 1 + 0,759 999 999 999 990 907 686 4;
  • 8) 0,759 999 999 999 990 907 686 4 × 2 = 1 + 0,519 999 999 999 981 815 372 8;
  • 9) 0,519 999 999 999 981 815 372 8 × 2 = 1 + 0,039 999 999 999 963 630 745 6;
  • 10) 0,039 999 999 999 963 630 745 6 × 2 = 0 + 0,079 999 999 999 927 261 491 2;
  • 11) 0,079 999 999 999 927 261 491 2 × 2 = 0 + 0,159 999 999 999 854 522 982 4;
  • 12) 0,159 999 999 999 854 522 982 4 × 2 = 0 + 0,319 999 999 999 709 045 964 8;
  • 13) 0,319 999 999 999 709 045 964 8 × 2 = 0 + 0,639 999 999 999 418 091 929 6;
  • 14) 0,639 999 999 999 418 091 929 6 × 2 = 1 + 0,279 999 999 998 836 183 859 2;
  • 15) 0,279 999 999 998 836 183 859 2 × 2 = 0 + 0,559 999 999 997 672 367 718 4;
  • 16) 0,559 999 999 997 672 367 718 4 × 2 = 1 + 0,119 999 999 995 344 735 436 8;
  • 17) 0,119 999 999 995 344 735 436 8 × 2 = 0 + 0,239 999 999 990 689 470 873 6;
  • 18) 0,239 999 999 990 689 470 873 6 × 2 = 0 + 0,479 999 999 981 378 941 747 2;
  • 19) 0,479 999 999 981 378 941 747 2 × 2 = 0 + 0,959 999 999 962 757 883 494 4;
  • 20) 0,959 999 999 962 757 883 494 4 × 2 = 1 + 0,919 999 999 925 515 766 988 8;
  • 21) 0,919 999 999 925 515 766 988 8 × 2 = 1 + 0,839 999 999 851 031 533 977 6;
  • 22) 0,839 999 999 851 031 533 977 6 × 2 = 1 + 0,679 999 999 702 063 067 955 2;
  • 23) 0,679 999 999 702 063 067 955 2 × 2 = 1 + 0,359 999 999 404 126 135 910 4;
  • 24) 0,359 999 999 404 126 135 910 4 × 2 = 0 + 0,719 999 998 808 252 271 820 8;
  • 25) 0,719 999 998 808 252 271 820 8 × 2 = 1 + 0,439 999 997 616 504 543 641 6;
  • 26) 0,439 999 997 616 504 543 641 6 × 2 = 0 + 0,879 999 995 233 009 087 283 2;
  • 27) 0,879 999 995 233 009 087 283 2 × 2 = 1 + 0,759 999 990 466 018 174 566 4;
  • 28) 0,759 999 990 466 018 174 566 4 × 2 = 1 + 0,519 999 980 932 036 349 132 8;
  • 29) 0,519 999 980 932 036 349 132 8 × 2 = 1 + 0,039 999 961 864 072 698 265 6;
  • 30) 0,039 999 961 864 072 698 265 6 × 2 = 0 + 0,079 999 923 728 145 396 531 2;
  • 31) 0,079 999 923 728 145 396 531 2 × 2 = 0 + 0,159 999 847 456 290 793 062 4;
  • 32) 0,159 999 847 456 290 793 062 4 × 2 = 0 + 0,319 999 694 912 581 586 124 8;
  • 33) 0,319 999 694 912 581 586 124 8 × 2 = 0 + 0,639 999 389 825 163 172 249 6;
  • 34) 0,639 999 389 825 163 172 249 6 × 2 = 1 + 0,279 998 779 650 326 344 499 2;
  • 35) 0,279 998 779 650 326 344 499 2 × 2 = 0 + 0,559 997 559 300 652 688 998 4;
  • 36) 0,559 997 559 300 652 688 998 4 × 2 = 1 + 0,119 995 118 601 305 377 996 8;
  • 37) 0,119 995 118 601 305 377 996 8 × 2 = 0 + 0,239 990 237 202 610 755 993 6;
  • 38) 0,239 990 237 202 610 755 993 6 × 2 = 0 + 0,479 980 474 405 221 511 987 2;
  • 39) 0,479 980 474 405 221 511 987 2 × 2 = 0 + 0,959 960 948 810 443 023 974 4;
  • 40) 0,959 960 948 810 443 023 974 4 × 2 = 1 + 0,919 921 897 620 886 047 948 8;
  • 41) 0,919 921 897 620 886 047 948 8 × 2 = 1 + 0,839 843 795 241 772 095 897 6;
  • 42) 0,839 843 795 241 772 095 897 6 × 2 = 1 + 0,679 687 590 483 544 191 795 2;
  • 43) 0,679 687 590 483 544 191 795 2 × 2 = 1 + 0,359 375 180 967 088 383 590 4;
  • 44) 0,359 375 180 967 088 383 590 4 × 2 = 0 + 0,718 750 361 934 176 767 180 8;
  • 45) 0,718 750 361 934 176 767 180 8 × 2 = 1 + 0,437 500 723 868 353 534 361 6;
  • 46) 0,437 500 723 868 353 534 361 6 × 2 = 0 + 0,875 001 447 736 707 068 723 2;
  • 47) 0,875 001 447 736 707 068 723 2 × 2 = 1 + 0,750 002 895 473 414 137 446 4;
  • 48) 0,750 002 895 473 414 137 446 4 × 2 = 1 + 0,500 005 790 946 828 274 892 8;
  • 49) 0,500 005 790 946 828 274 892 8 × 2 = 1 + 0,000 011 581 893 656 549 785 6;
  • 50) 0,000 011 581 893 656 549 785 6 × 2 = 0 + 0,000 023 163 787 313 099 571 2;
  • 51) 0,000 023 163 787 313 099 571 2 × 2 = 0 + 0,000 046 327 574 626 199 142 4;
  • 52) 0,000 046 327 574 626 199 142 4 × 2 = 0 + 0,000 092 655 149 252 398 284 8;
  • 53) 0,000 092 655 149 252 398 284 8 × 2 = 0 + 0,000 185 310 298 504 796 569 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,919 999 999 999 999 928 966 3(10) =

0,1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

5,919 999 999 999 999 928 966 3(10) =

101,1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


5,919 999 999 999 999 928 966 3(10) =

101,1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0(2) =

101,1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0(2) × 20 =

1,0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 000(2) × 22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 000 =

0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110


Numărul zecimal 5,919 999 999 999 999 928 966 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0001 - 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110

» Scriere 5,919 999 999 999 999 928 965 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100