512,159 999 999 999 969 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 512,159 999 999 999 969 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
512,159 999 999 999 969 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 512.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

512(10) =

10 0000 0000(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,159 999 999 999 969 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,159 999 999 999 969 7 × 2 = 0 + 0,319 999 999 999 939 4;
  • 2) 0,319 999 999 999 939 4 × 2 = 0 + 0,639 999 999 999 878 8;
  • 3) 0,639 999 999 999 878 8 × 2 = 1 + 0,279 999 999 999 757 6;
  • 4) 0,279 999 999 999 757 6 × 2 = 0 + 0,559 999 999 999 515 2;
  • 5) 0,559 999 999 999 515 2 × 2 = 1 + 0,119 999 999 999 030 4;
  • 6) 0,119 999 999 999 030 4 × 2 = 0 + 0,239 999 999 998 060 8;
  • 7) 0,239 999 999 998 060 8 × 2 = 0 + 0,479 999 999 996 121 6;
  • 8) 0,479 999 999 996 121 6 × 2 = 0 + 0,959 999 999 992 243 2;
  • 9) 0,959 999 999 992 243 2 × 2 = 1 + 0,919 999 999 984 486 4;
  • 10) 0,919 999 999 984 486 4 × 2 = 1 + 0,839 999 999 968 972 8;
  • 11) 0,839 999 999 968 972 8 × 2 = 1 + 0,679 999 999 937 945 6;
  • 12) 0,679 999 999 937 945 6 × 2 = 1 + 0,359 999 999 875 891 2;
  • 13) 0,359 999 999 875 891 2 × 2 = 0 + 0,719 999 999 751 782 4;
  • 14) 0,719 999 999 751 782 4 × 2 = 1 + 0,439 999 999 503 564 8;
  • 15) 0,439 999 999 503 564 8 × 2 = 0 + 0,879 999 999 007 129 6;
  • 16) 0,879 999 999 007 129 6 × 2 = 1 + 0,759 999 998 014 259 2;
  • 17) 0,759 999 998 014 259 2 × 2 = 1 + 0,519 999 996 028 518 4;
  • 18) 0,519 999 996 028 518 4 × 2 = 1 + 0,039 999 992 057 036 8;
  • 19) 0,039 999 992 057 036 8 × 2 = 0 + 0,079 999 984 114 073 6;
  • 20) 0,079 999 984 114 073 6 × 2 = 0 + 0,159 999 968 228 147 2;
  • 21) 0,159 999 968 228 147 2 × 2 = 0 + 0,319 999 936 456 294 4;
  • 22) 0,319 999 936 456 294 4 × 2 = 0 + 0,639 999 872 912 588 8;
  • 23) 0,639 999 872 912 588 8 × 2 = 1 + 0,279 999 745 825 177 6;
  • 24) 0,279 999 745 825 177 6 × 2 = 0 + 0,559 999 491 650 355 2;
  • 25) 0,559 999 491 650 355 2 × 2 = 1 + 0,119 998 983 300 710 4;
  • 26) 0,119 998 983 300 710 4 × 2 = 0 + 0,239 997 966 601 420 8;
  • 27) 0,239 997 966 601 420 8 × 2 = 0 + 0,479 995 933 202 841 6;
  • 28) 0,479 995 933 202 841 6 × 2 = 0 + 0,959 991 866 405 683 2;
  • 29) 0,959 991 866 405 683 2 × 2 = 1 + 0,919 983 732 811 366 4;
  • 30) 0,919 983 732 811 366 4 × 2 = 1 + 0,839 967 465 622 732 8;
  • 31) 0,839 967 465 622 732 8 × 2 = 1 + 0,679 934 931 245 465 6;
  • 32) 0,679 934 931 245 465 6 × 2 = 1 + 0,359 869 862 490 931 2;
  • 33) 0,359 869 862 490 931 2 × 2 = 0 + 0,719 739 724 981 862 4;
  • 34) 0,719 739 724 981 862 4 × 2 = 1 + 0,439 479 449 963 724 8;
  • 35) 0,439 479 449 963 724 8 × 2 = 0 + 0,878 958 899 927 449 6;
  • 36) 0,878 958 899 927 449 6 × 2 = 1 + 0,757 917 799 854 899 2;
  • 37) 0,757 917 799 854 899 2 × 2 = 1 + 0,515 835 599 709 798 4;
  • 38) 0,515 835 599 709 798 4 × 2 = 1 + 0,031 671 199 419 596 8;
  • 39) 0,031 671 199 419 596 8 × 2 = 0 + 0,063 342 398 839 193 6;
  • 40) 0,063 342 398 839 193 6 × 2 = 0 + 0,126 684 797 678 387 2;
  • 41) 0,126 684 797 678 387 2 × 2 = 0 + 0,253 369 595 356 774 4;
  • 42) 0,253 369 595 356 774 4 × 2 = 0 + 0,506 739 190 713 548 8;
  • 43) 0,506 739 190 713 548 8 × 2 = 1 + 0,013 478 381 427 097 6;
  • 44) 0,013 478 381 427 097 6 × 2 = 0 + 0,026 956 762 854 195 2;
  • 45) 0,026 956 762 854 195 2 × 2 = 0 + 0,053 913 525 708 390 4;
  • 46) 0,053 913 525 708 390 4 × 2 = 0 + 0,107 827 051 416 780 8;
  • 47) 0,107 827 051 416 780 8 × 2 = 0 + 0,215 654 102 833 561 6;
  • 48) 0,215 654 102 833 561 6 × 2 = 0 + 0,431 308 205 667 123 2;
  • 49) 0,431 308 205 667 123 2 × 2 = 0 + 0,862 616 411 334 246 4;
  • 50) 0,862 616 411 334 246 4 × 2 = 1 + 0,725 232 822 668 492 8;
  • 51) 0,725 232 822 668 492 8 × 2 = 1 + 0,450 465 645 336 985 6;
  • 52) 0,450 465 645 336 985 6 × 2 = 0 + 0,900 931 290 673 971 2;
  • 53) 0,900 931 290 673 971 2 × 2 = 1 + 0,801 862 581 347 942 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,159 999 999 999 969 7(10) =

0,0010 1000 1111 0101 1100 0010 1000 1111 0101 1100 0010 0000 0110 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

512,159 999 999 999 969 7(10) =

10 0000 0000,0010 1000 1111 0101 1100 0010 1000 1111 0101 1100 0010 0000 0110 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 9 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


512,159 999 999 999 969 7(10) =

10 0000 0000,0010 1000 1111 0101 1100 0010 1000 1111 0101 1100 0010 0000 0110 1(2) =

10 0000 0000,0010 1000 1111 0101 1100 0010 1000 1111 0101 1100 0010 0000 0110 1(2) × 20 =

1,0000 0000 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0000 0011 01(2) × 29


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 9

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0000 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0000 0011 01


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

9 + 2(11-1) - 1 =

(9 + 1 023)(10) =

1 032(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 032 : 2 = 516 + 0;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1032(10) =

100 0000 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0000 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 00 0000 1101 =

0000 0000 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1000

Mantisă (52 biți) =
0000 0000 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001


Numărul zecimal 512,159 999 999 999 969 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1000 - 0000 0000 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001

Distribuie

» Scriere 512,159 999 999 999 976 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100