55 671,061 765 781 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 55 671,061 765 781(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
55 671,061 765 781(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 55 671.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 55 671 : 2 = 27 835 + 1;
  • 27 835 : 2 = 13 917 + 1;
  • 13 917 : 2 = 6 958 + 1;
  • 6 958 : 2 = 3 479 + 0;
  • 3 479 : 2 = 1 739 + 1;
  • 1 739 : 2 = 869 + 1;
  • 869 : 2 = 434 + 1;
  • 434 : 2 = 217 + 0;
  • 217 : 2 = 108 + 1;
  • 108 : 2 = 54 + 0;
  • 54 : 2 = 27 + 0;
  • 27 : 2 = 13 + 1;
  • 13 : 2 = 6 + 1;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

55 671(10) =

1101 1001 0111 0111(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,061 765 781.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,061 765 781 × 2 = 0 + 0,123 531 562;
  • 2) 0,123 531 562 × 2 = 0 + 0,247 063 124;
  • 3) 0,247 063 124 × 2 = 0 + 0,494 126 248;
  • 4) 0,494 126 248 × 2 = 0 + 0,988 252 496;
  • 5) 0,988 252 496 × 2 = 1 + 0,976 504 992;
  • 6) 0,976 504 992 × 2 = 1 + 0,953 009 984;
  • 7) 0,953 009 984 × 2 = 1 + 0,906 019 968;
  • 8) 0,906 019 968 × 2 = 1 + 0,812 039 936;
  • 9) 0,812 039 936 × 2 = 1 + 0,624 079 872;
  • 10) 0,624 079 872 × 2 = 1 + 0,248 159 744;
  • 11) 0,248 159 744 × 2 = 0 + 0,496 319 488;
  • 12) 0,496 319 488 × 2 = 0 + 0,992 638 976;
  • 13) 0,992 638 976 × 2 = 1 + 0,985 277 952;
  • 14) 0,985 277 952 × 2 = 1 + 0,970 555 904;
  • 15) 0,970 555 904 × 2 = 1 + 0,941 111 808;
  • 16) 0,941 111 808 × 2 = 1 + 0,882 223 616;
  • 17) 0,882 223 616 × 2 = 1 + 0,764 447 232;
  • 18) 0,764 447 232 × 2 = 1 + 0,528 894 464;
  • 19) 0,528 894 464 × 2 = 1 + 0,057 788 928;
  • 20) 0,057 788 928 × 2 = 0 + 0,115 577 856;
  • 21) 0,115 577 856 × 2 = 0 + 0,231 155 712;
  • 22) 0,231 155 712 × 2 = 0 + 0,462 311 424;
  • 23) 0,462 311 424 × 2 = 0 + 0,924 622 848;
  • 24) 0,924 622 848 × 2 = 1 + 0,849 245 696;
  • 25) 0,849 245 696 × 2 = 1 + 0,698 491 392;
  • 26) 0,698 491 392 × 2 = 1 + 0,396 982 784;
  • 27) 0,396 982 784 × 2 = 0 + 0,793 965 568;
  • 28) 0,793 965 568 × 2 = 1 + 0,587 931 136;
  • 29) 0,587 931 136 × 2 = 1 + 0,175 862 272;
  • 30) 0,175 862 272 × 2 = 0 + 0,351 724 544;
  • 31) 0,351 724 544 × 2 = 0 + 0,703 449 088;
  • 32) 0,703 449 088 × 2 = 1 + 0,406 898 176;
  • 33) 0,406 898 176 × 2 = 0 + 0,813 796 352;
  • 34) 0,813 796 352 × 2 = 1 + 0,627 592 704;
  • 35) 0,627 592 704 × 2 = 1 + 0,255 185 408;
  • 36) 0,255 185 408 × 2 = 0 + 0,510 370 816;
  • 37) 0,510 370 816 × 2 = 1 + 0,020 741 632;
  • 38) 0,020 741 632 × 2 = 0 + 0,041 483 264;
  • 39) 0,041 483 264 × 2 = 0 + 0,082 966 528;
  • 40) 0,082 966 528 × 2 = 0 + 0,165 933 056;
  • 41) 0,165 933 056 × 2 = 0 + 0,331 866 112;
  • 42) 0,331 866 112 × 2 = 0 + 0,663 732 224;
  • 43) 0,663 732 224 × 2 = 1 + 0,327 464 448;
  • 44) 0,327 464 448 × 2 = 0 + 0,654 928 896;
  • 45) 0,654 928 896 × 2 = 1 + 0,309 857 792;
  • 46) 0,309 857 792 × 2 = 0 + 0,619 715 584;
  • 47) 0,619 715 584 × 2 = 1 + 0,239 431 168;
  • 48) 0,239 431 168 × 2 = 0 + 0,478 862 336;
  • 49) 0,478 862 336 × 2 = 0 + 0,957 724 672;
  • 50) 0,957 724 672 × 2 = 1 + 0,915 449 344;
  • 51) 0,915 449 344 × 2 = 1 + 0,830 898 688;
  • 52) 0,830 898 688 × 2 = 1 + 0,661 797 376;
  • 53) 0,661 797 376 × 2 = 1 + 0,323 594 752;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,061 765 781(10) =

0,0000 1111 1100 1111 1110 0001 1101 1001 0110 1000 0010 1010 0111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

55 671,061 765 781(10) =

1101 1001 0111 0111,0000 1111 1100 1111 1110 0001 1101 1001 0110 1000 0010 1010 0111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


55 671,061 765 781(10) =

1101 1001 0111 0111,0000 1111 1100 1111 1110 0001 1101 1001 0110 1000 0010 1010 0111 1(2) =

1101 1001 0111 0111,0000 1111 1100 1111 1110 0001 1101 1001 0110 1000 0010 1010 0111 1(2) × 20 =

1,1011 0010 1110 1110 0001 1111 1001 1111 1100 0011 1011 0010 1101 0000 0101 0100 1111(2) × 215


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 15

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 0010 1110 1110 0001 1111 1001 1111 1100 0011 1011 0010 1101 0000 0101 0100 1111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

15 + 2(11-1) - 1 =

(15 + 1 023)(10) =

1 038(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 038 : 2 = 519 + 0;
  • 519 : 2 = 259 + 1;
  • 259 : 2 = 129 + 1;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1038(10) =

100 0000 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 0010 1110 1110 0001 1111 1001 1111 1100 0011 1011 0010 1101 0000 0101 0100 1111 =

1011 0010 1110 1110 0001 1111 1001 1111 1100 0011 1011 0010 1101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1110

Mantisă (52 biți) =
1011 0010 1110 1110 0001 1111 1001 1111 1100 0011 1011 0010 1101


Numărul zecimal 55 671,061 765 781 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1110 - 1011 0010 1110 1110 0001 1111 1001 1111 1100 0011 1011 0010 1101

» Scriere 55 671,061 765 812 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100