6,283 185 307 179 586 476 917 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 6,283 185 307 179 586 476 917 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
6,283 185 307 179 586 476 917 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 6.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

6(10) =

110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,283 185 307 179 586 476 917 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,283 185 307 179 586 476 917 1 × 2 = 0 + 0,566 370 614 359 172 953 834 2;
  • 2) 0,566 370 614 359 172 953 834 2 × 2 = 1 + 0,132 741 228 718 345 907 668 4;
  • 3) 0,132 741 228 718 345 907 668 4 × 2 = 0 + 0,265 482 457 436 691 815 336 8;
  • 4) 0,265 482 457 436 691 815 336 8 × 2 = 0 + 0,530 964 914 873 383 630 673 6;
  • 5) 0,530 964 914 873 383 630 673 6 × 2 = 1 + 0,061 929 829 746 767 261 347 2;
  • 6) 0,061 929 829 746 767 261 347 2 × 2 = 0 + 0,123 859 659 493 534 522 694 4;
  • 7) 0,123 859 659 493 534 522 694 4 × 2 = 0 + 0,247 719 318 987 069 045 388 8;
  • 8) 0,247 719 318 987 069 045 388 8 × 2 = 0 + 0,495 438 637 974 138 090 777 6;
  • 9) 0,495 438 637 974 138 090 777 6 × 2 = 0 + 0,990 877 275 948 276 181 555 2;
  • 10) 0,990 877 275 948 276 181 555 2 × 2 = 1 + 0,981 754 551 896 552 363 110 4;
  • 11) 0,981 754 551 896 552 363 110 4 × 2 = 1 + 0,963 509 103 793 104 726 220 8;
  • 12) 0,963 509 103 793 104 726 220 8 × 2 = 1 + 0,927 018 207 586 209 452 441 6;
  • 13) 0,927 018 207 586 209 452 441 6 × 2 = 1 + 0,854 036 415 172 418 904 883 2;
  • 14) 0,854 036 415 172 418 904 883 2 × 2 = 1 + 0,708 072 830 344 837 809 766 4;
  • 15) 0,708 072 830 344 837 809 766 4 × 2 = 1 + 0,416 145 660 689 675 619 532 8;
  • 16) 0,416 145 660 689 675 619 532 8 × 2 = 0 + 0,832 291 321 379 351 239 065 6;
  • 17) 0,832 291 321 379 351 239 065 6 × 2 = 1 + 0,664 582 642 758 702 478 131 2;
  • 18) 0,664 582 642 758 702 478 131 2 × 2 = 1 + 0,329 165 285 517 404 956 262 4;
  • 19) 0,329 165 285 517 404 956 262 4 × 2 = 0 + 0,658 330 571 034 809 912 524 8;
  • 20) 0,658 330 571 034 809 912 524 8 × 2 = 1 + 0,316 661 142 069 619 825 049 6;
  • 21) 0,316 661 142 069 619 825 049 6 × 2 = 0 + 0,633 322 284 139 239 650 099 2;
  • 22) 0,633 322 284 139 239 650 099 2 × 2 = 1 + 0,266 644 568 278 479 300 198 4;
  • 23) 0,266 644 568 278 479 300 198 4 × 2 = 0 + 0,533 289 136 556 958 600 396 8;
  • 24) 0,533 289 136 556 958 600 396 8 × 2 = 1 + 0,066 578 273 113 917 200 793 6;
  • 25) 0,066 578 273 113 917 200 793 6 × 2 = 0 + 0,133 156 546 227 834 401 587 2;
  • 26) 0,133 156 546 227 834 401 587 2 × 2 = 0 + 0,266 313 092 455 668 803 174 4;
  • 27) 0,266 313 092 455 668 803 174 4 × 2 = 0 + 0,532 626 184 911 337 606 348 8;
  • 28) 0,532 626 184 911 337 606 348 8 × 2 = 1 + 0,065 252 369 822 675 212 697 6;
  • 29) 0,065 252 369 822 675 212 697 6 × 2 = 0 + 0,130 504 739 645 350 425 395 2;
  • 30) 0,130 504 739 645 350 425 395 2 × 2 = 0 + 0,261 009 479 290 700 850 790 4;
  • 31) 0,261 009 479 290 700 850 790 4 × 2 = 0 + 0,522 018 958 581 401 701 580 8;
  • 32) 0,522 018 958 581 401 701 580 8 × 2 = 1 + 0,044 037 917 162 803 403 161 6;
  • 33) 0,044 037 917 162 803 403 161 6 × 2 = 0 + 0,088 075 834 325 606 806 323 2;
  • 34) 0,088 075 834 325 606 806 323 2 × 2 = 0 + 0,176 151 668 651 213 612 646 4;
  • 35) 0,176 151 668 651 213 612 646 4 × 2 = 0 + 0,352 303 337 302 427 225 292 8;
  • 36) 0,352 303 337 302 427 225 292 8 × 2 = 0 + 0,704 606 674 604 854 450 585 6;
  • 37) 0,704 606 674 604 854 450 585 6 × 2 = 1 + 0,409 213 349 209 708 901 171 2;
  • 38) 0,409 213 349 209 708 901 171 2 × 2 = 0 + 0,818 426 698 419 417 802 342 4;
  • 39) 0,818 426 698 419 417 802 342 4 × 2 = 1 + 0,636 853 396 838 835 604 684 8;
  • 40) 0,636 853 396 838 835 604 684 8 × 2 = 1 + 0,273 706 793 677 671 209 369 6;
  • 41) 0,273 706 793 677 671 209 369 6 × 2 = 0 + 0,547 413 587 355 342 418 739 2;
  • 42) 0,547 413 587 355 342 418 739 2 × 2 = 1 + 0,094 827 174 710 684 837 478 4;
  • 43) 0,094 827 174 710 684 837 478 4 × 2 = 0 + 0,189 654 349 421 369 674 956 8;
  • 44) 0,189 654 349 421 369 674 956 8 × 2 = 0 + 0,379 308 698 842 739 349 913 6;
  • 45) 0,379 308 698 842 739 349 913 6 × 2 = 0 + 0,758 617 397 685 478 699 827 2;
  • 46) 0,758 617 397 685 478 699 827 2 × 2 = 1 + 0,517 234 795 370 957 399 654 4;
  • 47) 0,517 234 795 370 957 399 654 4 × 2 = 1 + 0,034 469 590 741 914 799 308 8;
  • 48) 0,034 469 590 741 914 799 308 8 × 2 = 0 + 0,068 939 181 483 829 598 617 6;
  • 49) 0,068 939 181 483 829 598 617 6 × 2 = 0 + 0,137 878 362 967 659 197 235 2;
  • 50) 0,137 878 362 967 659 197 235 2 × 2 = 0 + 0,275 756 725 935 318 394 470 4;
  • 51) 0,275 756 725 935 318 394 470 4 × 2 = 0 + 0,551 513 451 870 636 788 940 8;
  • 52) 0,551 513 451 870 636 788 940 8 × 2 = 1 + 0,103 026 903 741 273 577 881 6;
  • 53) 0,103 026 903 741 273 577 881 6 × 2 = 0 + 0,206 053 807 482 547 155 763 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,283 185 307 179 586 476 917 1(10) =

0,0100 1000 0111 1110 1101 0101 0001 0001 0000 1011 0100 0110 0001 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

6,283 185 307 179 586 476 917 1(10) =

110,0100 1000 0111 1110 1101 0101 0001 0001 0000 1011 0100 0110 0001 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


6,283 185 307 179 586 476 917 1(10) =

110,0100 1000 0111 1110 1101 0101 0001 0001 0000 1011 0100 0110 0001 0(2) =

110,0100 1000 0111 1110 1101 0101 0001 0001 0000 1011 0100 0110 0001 0(2) × 20 =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 010(2) × 22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 010 =

1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000


Numărul zecimal 6,283 185 307 179 586 476 917 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0001 - 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000

Distribuie

» Scriere 6,283 185 307 179 586 476 918 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100