6,285 714 285 714 285 654 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 6,285 714 285 714 285 654(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
6,285 714 285 714 285 654(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 6.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

6(10) =

110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,285 714 285 714 285 654.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,285 714 285 714 285 654 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 308;
  • 2) 0,571 428 571 428 571 308 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 616;
  • 3) 0,142 857 142 857 142 616 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 232;
  • 4) 0,285 714 285 714 285 232 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 570 464;
  • 5) 0,571 428 571 428 570 464 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 140 928;
  • 6) 0,142 857 142 857 140 928 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 281 856;
  • 7) 0,285 714 285 714 281 856 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 563 712;
  • 8) 0,571 428 571 428 563 712 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 127 424;
  • 9) 0,142 857 142 857 127 424 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 254 848;
  • 10) 0,285 714 285 714 254 848 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 509 696;
  • 11) 0,571 428 571 428 509 696 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 019 392;
  • 12) 0,142 857 142 857 019 392 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 038 784;
  • 13) 0,285 714 285 714 038 784 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 077 568;
  • 14) 0,571 428 571 428 077 568 × 2 = 1 + 0,142 857 142 856 155 136;
  • 15) 0,142 857 142 856 155 136 × 2 = 0 + 0,285 714 285 712 310 272;
  • 16) 0,285 714 285 712 310 272 × 2 = 0 + 0,571 428 571 424 620 544;
  • 17) 0,571 428 571 424 620 544 × 2 = 1 + 0,142 857 142 849 241 088;
  • 18) 0,142 857 142 849 241 088 × 2 = 0 + 0,285 714 285 698 482 176;
  • 19) 0,285 714 285 698 482 176 × 2 = 0 + 0,571 428 571 396 964 352;
  • 20) 0,571 428 571 396 964 352 × 2 = 1 + 0,142 857 142 793 928 704;
  • 21) 0,142 857 142 793 928 704 × 2 = 0 + 0,285 714 285 587 857 408;
  • 22) 0,285 714 285 587 857 408 × 2 = 0 + 0,571 428 571 175 714 816;
  • 23) 0,571 428 571 175 714 816 × 2 = 1 + 0,142 857 142 351 429 632;
  • 24) 0,142 857 142 351 429 632 × 2 = 0 + 0,285 714 284 702 859 264;
  • 25) 0,285 714 284 702 859 264 × 2 = 0 + 0,571 428 569 405 718 528;
  • 26) 0,571 428 569 405 718 528 × 2 = 1 + 0,142 857 138 811 437 056;
  • 27) 0,142 857 138 811 437 056 × 2 = 0 + 0,285 714 277 622 874 112;
  • 28) 0,285 714 277 622 874 112 × 2 = 0 + 0,571 428 555 245 748 224;
  • 29) 0,571 428 555 245 748 224 × 2 = 1 + 0,142 857 110 491 496 448;
  • 30) 0,142 857 110 491 496 448 × 2 = 0 + 0,285 714 220 982 992 896;
  • 31) 0,285 714 220 982 992 896 × 2 = 0 + 0,571 428 441 965 985 792;
  • 32) 0,571 428 441 965 985 792 × 2 = 1 + 0,142 856 883 931 971 584;
  • 33) 0,142 856 883 931 971 584 × 2 = 0 + 0,285 713 767 863 943 168;
  • 34) 0,285 713 767 863 943 168 × 2 = 0 + 0,571 427 535 727 886 336;
  • 35) 0,571 427 535 727 886 336 × 2 = 1 + 0,142 855 071 455 772 672;
  • 36) 0,142 855 071 455 772 672 × 2 = 0 + 0,285 710 142 911 545 344;
  • 37) 0,285 710 142 911 545 344 × 2 = 0 + 0,571 420 285 823 090 688;
  • 38) 0,571 420 285 823 090 688 × 2 = 1 + 0,142 840 571 646 181 376;
  • 39) 0,142 840 571 646 181 376 × 2 = 0 + 0,285 681 143 292 362 752;
  • 40) 0,285 681 143 292 362 752 × 2 = 0 + 0,571 362 286 584 725 504;
  • 41) 0,571 362 286 584 725 504 × 2 = 1 + 0,142 724 573 169 451 008;
  • 42) 0,142 724 573 169 451 008 × 2 = 0 + 0,285 449 146 338 902 016;
  • 43) 0,285 449 146 338 902 016 × 2 = 0 + 0,570 898 292 677 804 032;
  • 44) 0,570 898 292 677 804 032 × 2 = 1 + 0,141 796 585 355 608 064;
  • 45) 0,141 796 585 355 608 064 × 2 = 0 + 0,283 593 170 711 216 128;
  • 46) 0,283 593 170 711 216 128 × 2 = 0 + 0,567 186 341 422 432 256;
  • 47) 0,567 186 341 422 432 256 × 2 = 1 + 0,134 372 682 844 864 512;
  • 48) 0,134 372 682 844 864 512 × 2 = 0 + 0,268 745 365 689 729 024;
  • 49) 0,268 745 365 689 729 024 × 2 = 0 + 0,537 490 731 379 458 048;
  • 50) 0,537 490 731 379 458 048 × 2 = 1 + 0,074 981 462 758 916 096;
  • 51) 0,074 981 462 758 916 096 × 2 = 0 + 0,149 962 925 517 832 192;
  • 52) 0,149 962 925 517 832 192 × 2 = 0 + 0,299 925 851 035 664 384;
  • 53) 0,299 925 851 035 664 384 × 2 = 0 + 0,599 851 702 071 328 768;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,285 714 285 714 285 654(10) =

0,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

6,285 714 285 714 285 654(10) =

110,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


6,285 714 285 714 285 654(10) =

110,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0(2) =

110,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0(2) × 20 =

1,1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 000(2) × 22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 000 =

1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001


Numărul zecimal 6,285 714 285 714 285 654 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0001 - 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001

Distribuie

» Scriere 6,285 714 285 714 285 611 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100