6,285 714 285 714 285 657 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 6,285 714 285 714 285 657(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
6,285 714 285 714 285 657(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 6.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

6(10) =

110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,285 714 285 714 285 657.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,285 714 285 714 285 657 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 314;
  • 2) 0,571 428 571 428 571 314 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 628;
  • 3) 0,142 857 142 857 142 628 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 256;
  • 4) 0,285 714 285 714 285 256 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 570 512;
  • 5) 0,571 428 571 428 570 512 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 141 024;
  • 6) 0,142 857 142 857 141 024 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 282 048;
  • 7) 0,285 714 285 714 282 048 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 564 096;
  • 8) 0,571 428 571 428 564 096 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 128 192;
  • 9) 0,142 857 142 857 128 192 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 256 384;
  • 10) 0,285 714 285 714 256 384 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 512 768;
  • 11) 0,571 428 571 428 512 768 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 025 536;
  • 12) 0,142 857 142 857 025 536 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 051 072;
  • 13) 0,285 714 285 714 051 072 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 102 144;
  • 14) 0,571 428 571 428 102 144 × 2 = 1 + 0,142 857 142 856 204 288;
  • 15) 0,142 857 142 856 204 288 × 2 = 0 + 0,285 714 285 712 408 576;
  • 16) 0,285 714 285 712 408 576 × 2 = 0 + 0,571 428 571 424 817 152;
  • 17) 0,571 428 571 424 817 152 × 2 = 1 + 0,142 857 142 849 634 304;
  • 18) 0,142 857 142 849 634 304 × 2 = 0 + 0,285 714 285 699 268 608;
  • 19) 0,285 714 285 699 268 608 × 2 = 0 + 0,571 428 571 398 537 216;
  • 20) 0,571 428 571 398 537 216 × 2 = 1 + 0,142 857 142 797 074 432;
  • 21) 0,142 857 142 797 074 432 × 2 = 0 + 0,285 714 285 594 148 864;
  • 22) 0,285 714 285 594 148 864 × 2 = 0 + 0,571 428 571 188 297 728;
  • 23) 0,571 428 571 188 297 728 × 2 = 1 + 0,142 857 142 376 595 456;
  • 24) 0,142 857 142 376 595 456 × 2 = 0 + 0,285 714 284 753 190 912;
  • 25) 0,285 714 284 753 190 912 × 2 = 0 + 0,571 428 569 506 381 824;
  • 26) 0,571 428 569 506 381 824 × 2 = 1 + 0,142 857 139 012 763 648;
  • 27) 0,142 857 139 012 763 648 × 2 = 0 + 0,285 714 278 025 527 296;
  • 28) 0,285 714 278 025 527 296 × 2 = 0 + 0,571 428 556 051 054 592;
  • 29) 0,571 428 556 051 054 592 × 2 = 1 + 0,142 857 112 102 109 184;
  • 30) 0,142 857 112 102 109 184 × 2 = 0 + 0,285 714 224 204 218 368;
  • 31) 0,285 714 224 204 218 368 × 2 = 0 + 0,571 428 448 408 436 736;
  • 32) 0,571 428 448 408 436 736 × 2 = 1 + 0,142 856 896 816 873 472;
  • 33) 0,142 856 896 816 873 472 × 2 = 0 + 0,285 713 793 633 746 944;
  • 34) 0,285 713 793 633 746 944 × 2 = 0 + 0,571 427 587 267 493 888;
  • 35) 0,571 427 587 267 493 888 × 2 = 1 + 0,142 855 174 534 987 776;
  • 36) 0,142 855 174 534 987 776 × 2 = 0 + 0,285 710 349 069 975 552;
  • 37) 0,285 710 349 069 975 552 × 2 = 0 + 0,571 420 698 139 951 104;
  • 38) 0,571 420 698 139 951 104 × 2 = 1 + 0,142 841 396 279 902 208;
  • 39) 0,142 841 396 279 902 208 × 2 = 0 + 0,285 682 792 559 804 416;
  • 40) 0,285 682 792 559 804 416 × 2 = 0 + 0,571 365 585 119 608 832;
  • 41) 0,571 365 585 119 608 832 × 2 = 1 + 0,142 731 170 239 217 664;
  • 42) 0,142 731 170 239 217 664 × 2 = 0 + 0,285 462 340 478 435 328;
  • 43) 0,285 462 340 478 435 328 × 2 = 0 + 0,570 924 680 956 870 656;
  • 44) 0,570 924 680 956 870 656 × 2 = 1 + 0,141 849 361 913 741 312;
  • 45) 0,141 849 361 913 741 312 × 2 = 0 + 0,283 698 723 827 482 624;
  • 46) 0,283 698 723 827 482 624 × 2 = 0 + 0,567 397 447 654 965 248;
  • 47) 0,567 397 447 654 965 248 × 2 = 1 + 0,134 794 895 309 930 496;
  • 48) 0,134 794 895 309 930 496 × 2 = 0 + 0,269 589 790 619 860 992;
  • 49) 0,269 589 790 619 860 992 × 2 = 0 + 0,539 179 581 239 721 984;
  • 50) 0,539 179 581 239 721 984 × 2 = 1 + 0,078 359 162 479 443 968;
  • 51) 0,078 359 162 479 443 968 × 2 = 0 + 0,156 718 324 958 887 936;
  • 52) 0,156 718 324 958 887 936 × 2 = 0 + 0,313 436 649 917 775 872;
  • 53) 0,313 436 649 917 775 872 × 2 = 0 + 0,626 873 299 835 551 744;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,285 714 285 714 285 657(10) =

0,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

6,285 714 285 714 285 657(10) =

110,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


6,285 714 285 714 285 657(10) =

110,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0(2) =

110,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0(2) × 20 =

1,1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 000(2) × 22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 000 =

1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001


Numărul zecimal 6,285 714 285 714 285 657 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0001 - 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001

Distribuie

» Scriere 6,285 714 285 714 285 684 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100