6,285 714 285 714 285 676 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 6,285 714 285 714 285 676 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
6,285 714 285 714 285 676 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 6.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

6(10) =

110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,285 714 285 714 285 676 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,285 714 285 714 285 676 4 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 352 8;
  • 2) 0,571 428 571 428 571 352 8 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 705 6;
  • 3) 0,142 857 142 857 142 705 6 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 411 2;
  • 4) 0,285 714 285 714 285 411 2 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 570 822 4;
  • 5) 0,571 428 571 428 570 822 4 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 141 644 8;
  • 6) 0,142 857 142 857 141 644 8 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 283 289 6;
  • 7) 0,285 714 285 714 283 289 6 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 566 579 2;
  • 8) 0,571 428 571 428 566 579 2 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 133 158 4;
  • 9) 0,142 857 142 857 133 158 4 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 266 316 8;
  • 10) 0,285 714 285 714 266 316 8 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 532 633 6;
  • 11) 0,571 428 571 428 532 633 6 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 065 267 2;
  • 12) 0,142 857 142 857 065 267 2 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 130 534 4;
  • 13) 0,285 714 285 714 130 534 4 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 261 068 8;
  • 14) 0,571 428 571 428 261 068 8 × 2 = 1 + 0,142 857 142 856 522 137 6;
  • 15) 0,142 857 142 856 522 137 6 × 2 = 0 + 0,285 714 285 713 044 275 2;
  • 16) 0,285 714 285 713 044 275 2 × 2 = 0 + 0,571 428 571 426 088 550 4;
  • 17) 0,571 428 571 426 088 550 4 × 2 = 1 + 0,142 857 142 852 177 100 8;
  • 18) 0,142 857 142 852 177 100 8 × 2 = 0 + 0,285 714 285 704 354 201 6;
  • 19) 0,285 714 285 704 354 201 6 × 2 = 0 + 0,571 428 571 408 708 403 2;
  • 20) 0,571 428 571 408 708 403 2 × 2 = 1 + 0,142 857 142 817 416 806 4;
  • 21) 0,142 857 142 817 416 806 4 × 2 = 0 + 0,285 714 285 634 833 612 8;
  • 22) 0,285 714 285 634 833 612 8 × 2 = 0 + 0,571 428 571 269 667 225 6;
  • 23) 0,571 428 571 269 667 225 6 × 2 = 1 + 0,142 857 142 539 334 451 2;
  • 24) 0,142 857 142 539 334 451 2 × 2 = 0 + 0,285 714 285 078 668 902 4;
  • 25) 0,285 714 285 078 668 902 4 × 2 = 0 + 0,571 428 570 157 337 804 8;
  • 26) 0,571 428 570 157 337 804 8 × 2 = 1 + 0,142 857 140 314 675 609 6;
  • 27) 0,142 857 140 314 675 609 6 × 2 = 0 + 0,285 714 280 629 351 219 2;
  • 28) 0,285 714 280 629 351 219 2 × 2 = 0 + 0,571 428 561 258 702 438 4;
  • 29) 0,571 428 561 258 702 438 4 × 2 = 1 + 0,142 857 122 517 404 876 8;
  • 30) 0,142 857 122 517 404 876 8 × 2 = 0 + 0,285 714 245 034 809 753 6;
  • 31) 0,285 714 245 034 809 753 6 × 2 = 0 + 0,571 428 490 069 619 507 2;
  • 32) 0,571 428 490 069 619 507 2 × 2 = 1 + 0,142 856 980 139 239 014 4;
  • 33) 0,142 856 980 139 239 014 4 × 2 = 0 + 0,285 713 960 278 478 028 8;
  • 34) 0,285 713 960 278 478 028 8 × 2 = 0 + 0,571 427 920 556 956 057 6;
  • 35) 0,571 427 920 556 956 057 6 × 2 = 1 + 0,142 855 841 113 912 115 2;
  • 36) 0,142 855 841 113 912 115 2 × 2 = 0 + 0,285 711 682 227 824 230 4;
  • 37) 0,285 711 682 227 824 230 4 × 2 = 0 + 0,571 423 364 455 648 460 8;
  • 38) 0,571 423 364 455 648 460 8 × 2 = 1 + 0,142 846 728 911 296 921 6;
  • 39) 0,142 846 728 911 296 921 6 × 2 = 0 + 0,285 693 457 822 593 843 2;
  • 40) 0,285 693 457 822 593 843 2 × 2 = 0 + 0,571 386 915 645 187 686 4;
  • 41) 0,571 386 915 645 187 686 4 × 2 = 1 + 0,142 773 831 290 375 372 8;
  • 42) 0,142 773 831 290 375 372 8 × 2 = 0 + 0,285 547 662 580 750 745 6;
  • 43) 0,285 547 662 580 750 745 6 × 2 = 0 + 0,571 095 325 161 501 491 2;
  • 44) 0,571 095 325 161 501 491 2 × 2 = 1 + 0,142 190 650 323 002 982 4;
  • 45) 0,142 190 650 323 002 982 4 × 2 = 0 + 0,284 381 300 646 005 964 8;
  • 46) 0,284 381 300 646 005 964 8 × 2 = 0 + 0,568 762 601 292 011 929 6;
  • 47) 0,568 762 601 292 011 929 6 × 2 = 1 + 0,137 525 202 584 023 859 2;
  • 48) 0,137 525 202 584 023 859 2 × 2 = 0 + 0,275 050 405 168 047 718 4;
  • 49) 0,275 050 405 168 047 718 4 × 2 = 0 + 0,550 100 810 336 095 436 8;
  • 50) 0,550 100 810 336 095 436 8 × 2 = 1 + 0,100 201 620 672 190 873 6;
  • 51) 0,100 201 620 672 190 873 6 × 2 = 0 + 0,200 403 241 344 381 747 2;
  • 52) 0,200 403 241 344 381 747 2 × 2 = 0 + 0,400 806 482 688 763 494 4;
  • 53) 0,400 806 482 688 763 494 4 × 2 = 0 + 0,801 612 965 377 526 988 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,285 714 285 714 285 676 4(10) =

0,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

6,285 714 285 714 285 676 4(10) =

110,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


6,285 714 285 714 285 676 4(10) =

110,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0(2) =

110,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0(2) × 20 =

1,1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 000(2) × 22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 000 =

1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001


Numărul zecimal 6,285 714 285 714 285 676 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0001 - 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001

Distribuie

» Scriere 6,285 714 285 714 285 677 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100