6,285 714 285 714 285 681 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 6,285 714 285 714 285 681 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
6,285 714 285 714 285 681 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 6.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

6(10) =

110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,285 714 285 714 285 681 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,285 714 285 714 285 681 4 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 362 8;
  • 2) 0,571 428 571 428 571 362 8 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 725 6;
  • 3) 0,142 857 142 857 142 725 6 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 451 2;
  • 4) 0,285 714 285 714 285 451 2 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 570 902 4;
  • 5) 0,571 428 571 428 570 902 4 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 141 804 8;
  • 6) 0,142 857 142 857 141 804 8 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 283 609 6;
  • 7) 0,285 714 285 714 283 609 6 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 567 219 2;
  • 8) 0,571 428 571 428 567 219 2 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 134 438 4;
  • 9) 0,142 857 142 857 134 438 4 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 268 876 8;
  • 10) 0,285 714 285 714 268 876 8 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 537 753 6;
  • 11) 0,571 428 571 428 537 753 6 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 075 507 2;
  • 12) 0,142 857 142 857 075 507 2 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 151 014 4;
  • 13) 0,285 714 285 714 151 014 4 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 302 028 8;
  • 14) 0,571 428 571 428 302 028 8 × 2 = 1 + 0,142 857 142 856 604 057 6;
  • 15) 0,142 857 142 856 604 057 6 × 2 = 0 + 0,285 714 285 713 208 115 2;
  • 16) 0,285 714 285 713 208 115 2 × 2 = 0 + 0,571 428 571 426 416 230 4;
  • 17) 0,571 428 571 426 416 230 4 × 2 = 1 + 0,142 857 142 852 832 460 8;
  • 18) 0,142 857 142 852 832 460 8 × 2 = 0 + 0,285 714 285 705 664 921 6;
  • 19) 0,285 714 285 705 664 921 6 × 2 = 0 + 0,571 428 571 411 329 843 2;
  • 20) 0,571 428 571 411 329 843 2 × 2 = 1 + 0,142 857 142 822 659 686 4;
  • 21) 0,142 857 142 822 659 686 4 × 2 = 0 + 0,285 714 285 645 319 372 8;
  • 22) 0,285 714 285 645 319 372 8 × 2 = 0 + 0,571 428 571 290 638 745 6;
  • 23) 0,571 428 571 290 638 745 6 × 2 = 1 + 0,142 857 142 581 277 491 2;
  • 24) 0,142 857 142 581 277 491 2 × 2 = 0 + 0,285 714 285 162 554 982 4;
  • 25) 0,285 714 285 162 554 982 4 × 2 = 0 + 0,571 428 570 325 109 964 8;
  • 26) 0,571 428 570 325 109 964 8 × 2 = 1 + 0,142 857 140 650 219 929 6;
  • 27) 0,142 857 140 650 219 929 6 × 2 = 0 + 0,285 714 281 300 439 859 2;
  • 28) 0,285 714 281 300 439 859 2 × 2 = 0 + 0,571 428 562 600 879 718 4;
  • 29) 0,571 428 562 600 879 718 4 × 2 = 1 + 0,142 857 125 201 759 436 8;
  • 30) 0,142 857 125 201 759 436 8 × 2 = 0 + 0,285 714 250 403 518 873 6;
  • 31) 0,285 714 250 403 518 873 6 × 2 = 0 + 0,571 428 500 807 037 747 2;
  • 32) 0,571 428 500 807 037 747 2 × 2 = 1 + 0,142 857 001 614 075 494 4;
  • 33) 0,142 857 001 614 075 494 4 × 2 = 0 + 0,285 714 003 228 150 988 8;
  • 34) 0,285 714 003 228 150 988 8 × 2 = 0 + 0,571 428 006 456 301 977 6;
  • 35) 0,571 428 006 456 301 977 6 × 2 = 1 + 0,142 856 012 912 603 955 2;
  • 36) 0,142 856 012 912 603 955 2 × 2 = 0 + 0,285 712 025 825 207 910 4;
  • 37) 0,285 712 025 825 207 910 4 × 2 = 0 + 0,571 424 051 650 415 820 8;
  • 38) 0,571 424 051 650 415 820 8 × 2 = 1 + 0,142 848 103 300 831 641 6;
  • 39) 0,142 848 103 300 831 641 6 × 2 = 0 + 0,285 696 206 601 663 283 2;
  • 40) 0,285 696 206 601 663 283 2 × 2 = 0 + 0,571 392 413 203 326 566 4;
  • 41) 0,571 392 413 203 326 566 4 × 2 = 1 + 0,142 784 826 406 653 132 8;
  • 42) 0,142 784 826 406 653 132 8 × 2 = 0 + 0,285 569 652 813 306 265 6;
  • 43) 0,285 569 652 813 306 265 6 × 2 = 0 + 0,571 139 305 626 612 531 2;
  • 44) 0,571 139 305 626 612 531 2 × 2 = 1 + 0,142 278 611 253 225 062 4;
  • 45) 0,142 278 611 253 225 062 4 × 2 = 0 + 0,284 557 222 506 450 124 8;
  • 46) 0,284 557 222 506 450 124 8 × 2 = 0 + 0,569 114 445 012 900 249 6;
  • 47) 0,569 114 445 012 900 249 6 × 2 = 1 + 0,138 228 890 025 800 499 2;
  • 48) 0,138 228 890 025 800 499 2 × 2 = 0 + 0,276 457 780 051 600 998 4;
  • 49) 0,276 457 780 051 600 998 4 × 2 = 0 + 0,552 915 560 103 201 996 8;
  • 50) 0,552 915 560 103 201 996 8 × 2 = 1 + 0,105 831 120 206 403 993 6;
  • 51) 0,105 831 120 206 403 993 6 × 2 = 0 + 0,211 662 240 412 807 987 2;
  • 52) 0,211 662 240 412 807 987 2 × 2 = 0 + 0,423 324 480 825 615 974 4;
  • 53) 0,423 324 480 825 615 974 4 × 2 = 0 + 0,846 648 961 651 231 948 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,285 714 285 714 285 681 4(10) =

0,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

6,285 714 285 714 285 681 4(10) =

110,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


6,285 714 285 714 285 681 4(10) =

110,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0(2) =

110,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 0(2) × 20 =

1,1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 000(2) × 22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 000 =

1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001


Numărul zecimal 6,285 714 285 714 285 681 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0001 - 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001

Distribuie

» Scriere 6,285 714 285 714 285 689 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100