6,285 714 285 714 285 714 285 714 016 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 6,285 714 285 714 285 714 285 714 016(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
6,285 714 285 714 285 714 285 714 016(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 6.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

6(10) =

110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,285 714 285 714 285 714 285 714 016.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,285 714 285 714 285 714 285 714 016 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 428 571 428 032;
  • 2) 0,571 428 571 428 571 428 571 428 032 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 857 142 856 064;
  • 3) 0,142 857 142 857 142 857 142 856 064 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 714 285 712 128;
  • 4) 0,285 714 285 714 285 714 285 712 128 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 428 571 424 256;
  • 5) 0,571 428 571 428 571 428 571 424 256 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 857 142 848 512;
  • 6) 0,142 857 142 857 142 857 142 848 512 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 714 285 697 024;
  • 7) 0,285 714 285 714 285 714 285 697 024 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 428 571 394 048;
  • 8) 0,571 428 571 428 571 428 571 394 048 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 857 142 788 096;
  • 9) 0,142 857 142 857 142 857 142 788 096 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 714 285 576 192;
  • 10) 0,285 714 285 714 285 714 285 576 192 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 428 571 152 384;
  • 11) 0,571 428 571 428 571 428 571 152 384 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 857 142 304 768;
  • 12) 0,142 857 142 857 142 857 142 304 768 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 714 284 609 536;
  • 13) 0,285 714 285 714 285 714 284 609 536 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 428 569 219 072;
  • 14) 0,571 428 571 428 571 428 569 219 072 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 857 138 438 144;
  • 15) 0,142 857 142 857 142 857 138 438 144 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 714 276 876 288;
  • 16) 0,285 714 285 714 285 714 276 876 288 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 428 553 752 576;
  • 17) 0,571 428 571 428 571 428 553 752 576 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 857 107 505 152;
  • 18) 0,142 857 142 857 142 857 107 505 152 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 714 215 010 304;
  • 19) 0,285 714 285 714 285 714 215 010 304 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 428 430 020 608;
  • 20) 0,571 428 571 428 571 428 430 020 608 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 856 860 041 216;
  • 21) 0,142 857 142 857 142 856 860 041 216 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 713 720 082 432;
  • 22) 0,285 714 285 714 285 713 720 082 432 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 427 440 164 864;
  • 23) 0,571 428 571 428 571 427 440 164 864 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 854 880 329 728;
  • 24) 0,142 857 142 857 142 854 880 329 728 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 709 760 659 456;
  • 25) 0,285 714 285 714 285 709 760 659 456 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 419 521 318 912;
  • 26) 0,571 428 571 428 571 419 521 318 912 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 839 042 637 824;
  • 27) 0,142 857 142 857 142 839 042 637 824 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 678 085 275 648;
  • 28) 0,285 714 285 714 285 678 085 275 648 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 356 170 551 296;
  • 29) 0,571 428 571 428 571 356 170 551 296 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 712 341 102 592;
  • 30) 0,142 857 142 857 142 712 341 102 592 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 424 682 205 184;
  • 31) 0,285 714 285 714 285 424 682 205 184 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 570 849 364 410 368;
  • 32) 0,571 428 571 428 570 849 364 410 368 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 141 698 728 820 736;
  • 33) 0,142 857 142 857 141 698 728 820 736 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 283 397 457 641 472;
  • 34) 0,285 714 285 714 283 397 457 641 472 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 566 794 915 282 944;
  • 35) 0,571 428 571 428 566 794 915 282 944 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 133 589 830 565 888;
  • 36) 0,142 857 142 857 133 589 830 565 888 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 267 179 661 131 776;
  • 37) 0,285 714 285 714 267 179 661 131 776 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 534 359 322 263 552;
  • 38) 0,571 428 571 428 534 359 322 263 552 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 068 718 644 527 104;
  • 39) 0,142 857 142 857 068 718 644 527 104 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 137 437 289 054 208;
  • 40) 0,285 714 285 714 137 437 289 054 208 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 274 874 578 108 416;
  • 41) 0,571 428 571 428 274 874 578 108 416 × 2 = 1 + 0,142 857 142 856 549 749 156 216 832;
  • 42) 0,142 857 142 856 549 749 156 216 832 × 2 = 0 + 0,285 714 285 713 099 498 312 433 664;
  • 43) 0,285 714 285 713 099 498 312 433 664 × 2 = 0 + 0,571 428 571 426 198 996 624 867 328;
  • 44) 0,571 428 571 426 198 996 624 867 328 × 2 = 1 + 0,142 857 142 852 397 993 249 734 656;
  • 45) 0,142 857 142 852 397 993 249 734 656 × 2 = 0 + 0,285 714 285 704 795 986 499 469 312;
  • 46) 0,285 714 285 704 795 986 499 469 312 × 2 = 0 + 0,571 428 571 409 591 972 998 938 624;
  • 47) 0,571 428 571 409 591 972 998 938 624 × 2 = 1 + 0,142 857 142 819 183 945 997 877 248;
  • 48) 0,142 857 142 819 183 945 997 877 248 × 2 = 0 + 0,285 714 285 638 367 891 995 754 496;
  • 49) 0,285 714 285 638 367 891 995 754 496 × 2 = 0 + 0,571 428 571 276 735 783 991 508 992;
  • 50) 0,571 428 571 276 735 783 991 508 992 × 2 = 1 + 0,142 857 142 553 471 567 983 017 984;
  • 51) 0,142 857 142 553 471 567 983 017 984 × 2 = 0 + 0,285 714 285 106 943 135 966 035 968;
  • 52) 0,285 714 285 106 943 135 966 035 968 × 2 = 0 + 0,571 428 570 213 886 271 932 071 936;
  • 53) 0,571 428 570 213 886 271 932 071 936 × 2 = 1 + 0,142 857 140 427 772 543 864 143 872;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,285 714 285 714 285 714 285 714 016(10) =

0,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

6,285 714 285 714 285 714 285 714 016(10) =

110,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


6,285 714 285 714 285 714 285 714 016(10) =

110,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1(2) =

110,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1(2) × 20 =

1,1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 001(2) × 22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 001 =

1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001


Numărul zecimal 6,285 714 285 714 285 714 285 714 016 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0001 - 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001

» Scriere 6,285 714 285 714 285 714 285 713 985 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100