6,285 714 285 714 285 714 285 714 047 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 6,285 714 285 714 285 714 285 714 047(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
6,285 714 285 714 285 714 285 714 047(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 6.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

6(10) =

110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,285 714 285 714 285 714 285 714 047.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,285 714 285 714 285 714 285 714 047 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 428 571 428 094;
  • 2) 0,571 428 571 428 571 428 571 428 094 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 857 142 856 188;
  • 3) 0,142 857 142 857 142 857 142 856 188 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 714 285 712 376;
  • 4) 0,285 714 285 714 285 714 285 712 376 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 428 571 424 752;
  • 5) 0,571 428 571 428 571 428 571 424 752 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 857 142 849 504;
  • 6) 0,142 857 142 857 142 857 142 849 504 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 714 285 699 008;
  • 7) 0,285 714 285 714 285 714 285 699 008 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 428 571 398 016;
  • 8) 0,571 428 571 428 571 428 571 398 016 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 857 142 796 032;
  • 9) 0,142 857 142 857 142 857 142 796 032 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 714 285 592 064;
  • 10) 0,285 714 285 714 285 714 285 592 064 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 428 571 184 128;
  • 11) 0,571 428 571 428 571 428 571 184 128 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 857 142 368 256;
  • 12) 0,142 857 142 857 142 857 142 368 256 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 714 284 736 512;
  • 13) 0,285 714 285 714 285 714 284 736 512 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 428 569 473 024;
  • 14) 0,571 428 571 428 571 428 569 473 024 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 857 138 946 048;
  • 15) 0,142 857 142 857 142 857 138 946 048 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 714 277 892 096;
  • 16) 0,285 714 285 714 285 714 277 892 096 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 428 555 784 192;
  • 17) 0,571 428 571 428 571 428 555 784 192 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 857 111 568 384;
  • 18) 0,142 857 142 857 142 857 111 568 384 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 714 223 136 768;
  • 19) 0,285 714 285 714 285 714 223 136 768 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 428 446 273 536;
  • 20) 0,571 428 571 428 571 428 446 273 536 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 856 892 547 072;
  • 21) 0,142 857 142 857 142 856 892 547 072 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 713 785 094 144;
  • 22) 0,285 714 285 714 285 713 785 094 144 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 427 570 188 288;
  • 23) 0,571 428 571 428 571 427 570 188 288 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 855 140 376 576;
  • 24) 0,142 857 142 857 142 855 140 376 576 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 710 280 753 152;
  • 25) 0,285 714 285 714 285 710 280 753 152 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 420 561 506 304;
  • 26) 0,571 428 571 428 571 420 561 506 304 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 841 123 012 608;
  • 27) 0,142 857 142 857 142 841 123 012 608 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 682 246 025 216;
  • 28) 0,285 714 285 714 285 682 246 025 216 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 364 492 050 432;
  • 29) 0,571 428 571 428 571 364 492 050 432 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 728 984 100 864;
  • 30) 0,142 857 142 857 142 728 984 100 864 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 457 968 201 728;
  • 31) 0,285 714 285 714 285 457 968 201 728 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 570 915 936 403 456;
  • 32) 0,571 428 571 428 570 915 936 403 456 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 141 831 872 806 912;
  • 33) 0,142 857 142 857 141 831 872 806 912 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 283 663 745 613 824;
  • 34) 0,285 714 285 714 283 663 745 613 824 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 567 327 491 227 648;
  • 35) 0,571 428 571 428 567 327 491 227 648 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 134 654 982 455 296;
  • 36) 0,142 857 142 857 134 654 982 455 296 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 269 309 964 910 592;
  • 37) 0,285 714 285 714 269 309 964 910 592 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 538 619 929 821 184;
  • 38) 0,571 428 571 428 538 619 929 821 184 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 077 239 859 642 368;
  • 39) 0,142 857 142 857 077 239 859 642 368 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 154 479 719 284 736;
  • 40) 0,285 714 285 714 154 479 719 284 736 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 308 959 438 569 472;
  • 41) 0,571 428 571 428 308 959 438 569 472 × 2 = 1 + 0,142 857 142 856 617 918 877 138 944;
  • 42) 0,142 857 142 856 617 918 877 138 944 × 2 = 0 + 0,285 714 285 713 235 837 754 277 888;
  • 43) 0,285 714 285 713 235 837 754 277 888 × 2 = 0 + 0,571 428 571 426 471 675 508 555 776;
  • 44) 0,571 428 571 426 471 675 508 555 776 × 2 = 1 + 0,142 857 142 852 943 351 017 111 552;
  • 45) 0,142 857 142 852 943 351 017 111 552 × 2 = 0 + 0,285 714 285 705 886 702 034 223 104;
  • 46) 0,285 714 285 705 886 702 034 223 104 × 2 = 0 + 0,571 428 571 411 773 404 068 446 208;
  • 47) 0,571 428 571 411 773 404 068 446 208 × 2 = 1 + 0,142 857 142 823 546 808 136 892 416;
  • 48) 0,142 857 142 823 546 808 136 892 416 × 2 = 0 + 0,285 714 285 647 093 616 273 784 832;
  • 49) 0,285 714 285 647 093 616 273 784 832 × 2 = 0 + 0,571 428 571 294 187 232 547 569 664;
  • 50) 0,571 428 571 294 187 232 547 569 664 × 2 = 1 + 0,142 857 142 588 374 465 095 139 328;
  • 51) 0,142 857 142 588 374 465 095 139 328 × 2 = 0 + 0,285 714 285 176 748 930 190 278 656;
  • 52) 0,285 714 285 176 748 930 190 278 656 × 2 = 0 + 0,571 428 570 353 497 860 380 557 312;
  • 53) 0,571 428 570 353 497 860 380 557 312 × 2 = 1 + 0,142 857 140 706 995 720 761 114 624;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,285 714 285 714 285 714 285 714 047(10) =

0,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

6,285 714 285 714 285 714 285 714 047(10) =

110,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


6,285 714 285 714 285 714 285 714 047(10) =

110,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1(2) =

110,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1(2) × 20 =

1,1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 001(2) × 22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 001 =

1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001


Numărul zecimal 6,285 714 285 714 285 714 285 714 047 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0001 - 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001

» Scriere 6,285 714 285 714 285 714 285 714 073 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100