6,285 714 285 714 285 832 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 6,285 714 285 714 285 832(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
6,285 714 285 714 285 832(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 6.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

6(10) =

110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,285 714 285 714 285 832.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,285 714 285 714 285 832 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 664;
  • 2) 0,571 428 571 428 571 664 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 143 328;
  • 3) 0,142 857 142 857 143 328 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 286 656;
  • 4) 0,285 714 285 714 286 656 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 573 312;
  • 5) 0,571 428 571 428 573 312 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 146 624;
  • 6) 0,142 857 142 857 146 624 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 293 248;
  • 7) 0,285 714 285 714 293 248 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 586 496;
  • 8) 0,571 428 571 428 586 496 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 172 992;
  • 9) 0,142 857 142 857 172 992 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 345 984;
  • 10) 0,285 714 285 714 345 984 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 691 968;
  • 11) 0,571 428 571 428 691 968 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 383 936;
  • 12) 0,142 857 142 857 383 936 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 767 872;
  • 13) 0,285 714 285 714 767 872 × 2 = 0 + 0,571 428 571 429 535 744;
  • 14) 0,571 428 571 429 535 744 × 2 = 1 + 0,142 857 142 859 071 488;
  • 15) 0,142 857 142 859 071 488 × 2 = 0 + 0,285 714 285 718 142 976;
  • 16) 0,285 714 285 718 142 976 × 2 = 0 + 0,571 428 571 436 285 952;
  • 17) 0,571 428 571 436 285 952 × 2 = 1 + 0,142 857 142 872 571 904;
  • 18) 0,142 857 142 872 571 904 × 2 = 0 + 0,285 714 285 745 143 808;
  • 19) 0,285 714 285 745 143 808 × 2 = 0 + 0,571 428 571 490 287 616;
  • 20) 0,571 428 571 490 287 616 × 2 = 1 + 0,142 857 142 980 575 232;
  • 21) 0,142 857 142 980 575 232 × 2 = 0 + 0,285 714 285 961 150 464;
  • 22) 0,285 714 285 961 150 464 × 2 = 0 + 0,571 428 571 922 300 928;
  • 23) 0,571 428 571 922 300 928 × 2 = 1 + 0,142 857 143 844 601 856;
  • 24) 0,142 857 143 844 601 856 × 2 = 0 + 0,285 714 287 689 203 712;
  • 25) 0,285 714 287 689 203 712 × 2 = 0 + 0,571 428 575 378 407 424;
  • 26) 0,571 428 575 378 407 424 × 2 = 1 + 0,142 857 150 756 814 848;
  • 27) 0,142 857 150 756 814 848 × 2 = 0 + 0,285 714 301 513 629 696;
  • 28) 0,285 714 301 513 629 696 × 2 = 0 + 0,571 428 603 027 259 392;
  • 29) 0,571 428 603 027 259 392 × 2 = 1 + 0,142 857 206 054 518 784;
  • 30) 0,142 857 206 054 518 784 × 2 = 0 + 0,285 714 412 109 037 568;
  • 31) 0,285 714 412 109 037 568 × 2 = 0 + 0,571 428 824 218 075 136;
  • 32) 0,571 428 824 218 075 136 × 2 = 1 + 0,142 857 648 436 150 272;
  • 33) 0,142 857 648 436 150 272 × 2 = 0 + 0,285 715 296 872 300 544;
  • 34) 0,285 715 296 872 300 544 × 2 = 0 + 0,571 430 593 744 601 088;
  • 35) 0,571 430 593 744 601 088 × 2 = 1 + 0,142 861 187 489 202 176;
  • 36) 0,142 861 187 489 202 176 × 2 = 0 + 0,285 722 374 978 404 352;
  • 37) 0,285 722 374 978 404 352 × 2 = 0 + 0,571 444 749 956 808 704;
  • 38) 0,571 444 749 956 808 704 × 2 = 1 + 0,142 889 499 913 617 408;
  • 39) 0,142 889 499 913 617 408 × 2 = 0 + 0,285 778 999 827 234 816;
  • 40) 0,285 778 999 827 234 816 × 2 = 0 + 0,571 557 999 654 469 632;
  • 41) 0,571 557 999 654 469 632 × 2 = 1 + 0,143 115 999 308 939 264;
  • 42) 0,143 115 999 308 939 264 × 2 = 0 + 0,286 231 998 617 878 528;
  • 43) 0,286 231 998 617 878 528 × 2 = 0 + 0,572 463 997 235 757 056;
  • 44) 0,572 463 997 235 757 056 × 2 = 1 + 0,144 927 994 471 514 112;
  • 45) 0,144 927 994 471 514 112 × 2 = 0 + 0,289 855 988 943 028 224;
  • 46) 0,289 855 988 943 028 224 × 2 = 0 + 0,579 711 977 886 056 448;
  • 47) 0,579 711 977 886 056 448 × 2 = 1 + 0,159 423 955 772 112 896;
  • 48) 0,159 423 955 772 112 896 × 2 = 0 + 0,318 847 911 544 225 792;
  • 49) 0,318 847 911 544 225 792 × 2 = 0 + 0,637 695 823 088 451 584;
  • 50) 0,637 695 823 088 451 584 × 2 = 1 + 0,275 391 646 176 903 168;
  • 51) 0,275 391 646 176 903 168 × 2 = 0 + 0,550 783 292 353 806 336;
  • 52) 0,550 783 292 353 806 336 × 2 = 1 + 0,101 566 584 707 612 672;
  • 53) 0,101 566 584 707 612 672 × 2 = 0 + 0,203 133 169 415 225 344;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,285 714 285 714 285 832(10) =

0,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0101 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

6,285 714 285 714 285 832(10) =

110,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0101 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


6,285 714 285 714 285 832(10) =

110,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0101 0(2) =

110,0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0101 0(2) × 20 =

1,1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 010(2) × 22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 010 =

1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001


Numărul zecimal 6,285 714 285 714 285 832 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0001 - 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001

Distribuie

» Scriere 6,285 714 285 714 285 766 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100