6,285 749 999 999 999 282 552 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 6,285 749 999 999 999 282 552(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
6,285 749 999 999 999 282 552(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 6.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

6(10) =

110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,285 749 999 999 999 282 552.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,285 749 999 999 999 282 552 × 2 = 0 + 0,571 499 999 999 998 565 104;
  • 2) 0,571 499 999 999 998 565 104 × 2 = 1 + 0,142 999 999 999 997 130 208;
  • 3) 0,142 999 999 999 997 130 208 × 2 = 0 + 0,285 999 999 999 994 260 416;
  • 4) 0,285 999 999 999 994 260 416 × 2 = 0 + 0,571 999 999 999 988 520 832;
  • 5) 0,571 999 999 999 988 520 832 × 2 = 1 + 0,143 999 999 999 977 041 664;
  • 6) 0,143 999 999 999 977 041 664 × 2 = 0 + 0,287 999 999 999 954 083 328;
  • 7) 0,287 999 999 999 954 083 328 × 2 = 0 + 0,575 999 999 999 908 166 656;
  • 8) 0,575 999 999 999 908 166 656 × 2 = 1 + 0,151 999 999 999 816 333 312;
  • 9) 0,151 999 999 999 816 333 312 × 2 = 0 + 0,303 999 999 999 632 666 624;
  • 10) 0,303 999 999 999 632 666 624 × 2 = 0 + 0,607 999 999 999 265 333 248;
  • 11) 0,607 999 999 999 265 333 248 × 2 = 1 + 0,215 999 999 998 530 666 496;
  • 12) 0,215 999 999 998 530 666 496 × 2 = 0 + 0,431 999 999 997 061 332 992;
  • 13) 0,431 999 999 997 061 332 992 × 2 = 0 + 0,863 999 999 994 122 665 984;
  • 14) 0,863 999 999 994 122 665 984 × 2 = 1 + 0,727 999 999 988 245 331 968;
  • 15) 0,727 999 999 988 245 331 968 × 2 = 1 + 0,455 999 999 976 490 663 936;
  • 16) 0,455 999 999 976 490 663 936 × 2 = 0 + 0,911 999 999 952 981 327 872;
  • 17) 0,911 999 999 952 981 327 872 × 2 = 1 + 0,823 999 999 905 962 655 744;
  • 18) 0,823 999 999 905 962 655 744 × 2 = 1 + 0,647 999 999 811 925 311 488;
  • 19) 0,647 999 999 811 925 311 488 × 2 = 1 + 0,295 999 999 623 850 622 976;
  • 20) 0,295 999 999 623 850 622 976 × 2 = 0 + 0,591 999 999 247 701 245 952;
  • 21) 0,591 999 999 247 701 245 952 × 2 = 1 + 0,183 999 998 495 402 491 904;
  • 22) 0,183 999 998 495 402 491 904 × 2 = 0 + 0,367 999 996 990 804 983 808;
  • 23) 0,367 999 996 990 804 983 808 × 2 = 0 + 0,735 999 993 981 609 967 616;
  • 24) 0,735 999 993 981 609 967 616 × 2 = 1 + 0,471 999 987 963 219 935 232;
  • 25) 0,471 999 987 963 219 935 232 × 2 = 0 + 0,943 999 975 926 439 870 464;
  • 26) 0,943 999 975 926 439 870 464 × 2 = 1 + 0,887 999 951 852 879 740 928;
  • 27) 0,887 999 951 852 879 740 928 × 2 = 1 + 0,775 999 903 705 759 481 856;
  • 28) 0,775 999 903 705 759 481 856 × 2 = 1 + 0,551 999 807 411 518 963 712;
  • 29) 0,551 999 807 411 518 963 712 × 2 = 1 + 0,103 999 614 823 037 927 424;
  • 30) 0,103 999 614 823 037 927 424 × 2 = 0 + 0,207 999 229 646 075 854 848;
  • 31) 0,207 999 229 646 075 854 848 × 2 = 0 + 0,415 998 459 292 151 709 696;
  • 32) 0,415 998 459 292 151 709 696 × 2 = 0 + 0,831 996 918 584 303 419 392;
  • 33) 0,831 996 918 584 303 419 392 × 2 = 1 + 0,663 993 837 168 606 838 784;
  • 34) 0,663 993 837 168 606 838 784 × 2 = 1 + 0,327 987 674 337 213 677 568;
  • 35) 0,327 987 674 337 213 677 568 × 2 = 0 + 0,655 975 348 674 427 355 136;
  • 36) 0,655 975 348 674 427 355 136 × 2 = 1 + 0,311 950 697 348 854 710 272;
  • 37) 0,311 950 697 348 854 710 272 × 2 = 0 + 0,623 901 394 697 709 420 544;
  • 38) 0,623 901 394 697 709 420 544 × 2 = 1 + 0,247 802 789 395 418 841 088;
  • 39) 0,247 802 789 395 418 841 088 × 2 = 0 + 0,495 605 578 790 837 682 176;
  • 40) 0,495 605 578 790 837 682 176 × 2 = 0 + 0,991 211 157 581 675 364 352;
  • 41) 0,991 211 157 581 675 364 352 × 2 = 1 + 0,982 422 315 163 350 728 704;
  • 42) 0,982 422 315 163 350 728 704 × 2 = 1 + 0,964 844 630 326 701 457 408;
  • 43) 0,964 844 630 326 701 457 408 × 2 = 1 + 0,929 689 260 653 402 914 816;
  • 44) 0,929 689 260 653 402 914 816 × 2 = 1 + 0,859 378 521 306 805 829 632;
  • 45) 0,859 378 521 306 805 829 632 × 2 = 1 + 0,718 757 042 613 611 659 264;
  • 46) 0,718 757 042 613 611 659 264 × 2 = 1 + 0,437 514 085 227 223 318 528;
  • 47) 0,437 514 085 227 223 318 528 × 2 = 0 + 0,875 028 170 454 446 637 056;
  • 48) 0,875 028 170 454 446 637 056 × 2 = 1 + 0,750 056 340 908 893 274 112;
  • 49) 0,750 056 340 908 893 274 112 × 2 = 1 + 0,500 112 681 817 786 548 224;
  • 50) 0,500 112 681 817 786 548 224 × 2 = 1 + 0,000 225 363 635 573 096 448;
  • 51) 0,000 225 363 635 573 096 448 × 2 = 0 + 0,000 450 727 271 146 192 896;
  • 52) 0,000 450 727 271 146 192 896 × 2 = 0 + 0,000 901 454 542 292 385 792;
  • 53) 0,000 901 454 542 292 385 792 × 2 = 0 + 0,001 802 909 084 584 771 584;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,285 749 999 999 999 282 552(10) =

0,0100 1001 0010 0110 1110 1001 0111 1000 1101 0100 1111 1101 1100 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

6,285 749 999 999 999 282 552(10) =

110,0100 1001 0010 0110 1110 1001 0111 1000 1101 0100 1111 1101 1100 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


6,285 749 999 999 999 282 552(10) =

110,0100 1001 0010 0110 1110 1001 0111 1000 1101 0100 1111 1101 1100 0(2) =

110,0100 1001 0010 0110 1110 1001 0111 1000 1101 0100 1111 1101 1100 0(2) × 20 =

1,1001 0010 0100 1001 1011 1010 0101 1110 0011 0101 0011 1111 0111 000(2) × 22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0100 1001 1011 1010 0101 1110 0011 0101 0011 1111 0111 000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0100 1001 1011 1010 0101 1110 0011 0101 0011 1111 0111 000 =

1001 0010 0100 1001 1011 1010 0101 1110 0011 0101 0011 1111 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0100 1001 1011 1010 0101 1110 0011 0101 0011 1111 0111


Numărul zecimal 6,285 749 999 999 999 282 552 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0001 - 1001 0010 0100 1001 1011 1010 0101 1110 0011 0101 0011 1111 0111

Distribuie

» Scriere 6,285 749 999 999 999 282 496 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100