6,441 148 781 594 706 389 197 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 6,441 148 781 594 706 389 197(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
6,441 148 781 594 706 389 197(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 6.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

6(10) =

110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,441 148 781 594 706 389 197.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,441 148 781 594 706 389 197 × 2 = 0 + 0,882 297 563 189 412 778 394;
  • 2) 0,882 297 563 189 412 778 394 × 2 = 1 + 0,764 595 126 378 825 556 788;
  • 3) 0,764 595 126 378 825 556 788 × 2 = 1 + 0,529 190 252 757 651 113 576;
  • 4) 0,529 190 252 757 651 113 576 × 2 = 1 + 0,058 380 505 515 302 227 152;
  • 5) 0,058 380 505 515 302 227 152 × 2 = 0 + 0,116 761 011 030 604 454 304;
  • 6) 0,116 761 011 030 604 454 304 × 2 = 0 + 0,233 522 022 061 208 908 608;
  • 7) 0,233 522 022 061 208 908 608 × 2 = 0 + 0,467 044 044 122 417 817 216;
  • 8) 0,467 044 044 122 417 817 216 × 2 = 0 + 0,934 088 088 244 835 634 432;
  • 9) 0,934 088 088 244 835 634 432 × 2 = 1 + 0,868 176 176 489 671 268 864;
  • 10) 0,868 176 176 489 671 268 864 × 2 = 1 + 0,736 352 352 979 342 537 728;
  • 11) 0,736 352 352 979 342 537 728 × 2 = 1 + 0,472 704 705 958 685 075 456;
  • 12) 0,472 704 705 958 685 075 456 × 2 = 0 + 0,945 409 411 917 370 150 912;
  • 13) 0,945 409 411 917 370 150 912 × 2 = 1 + 0,890 818 823 834 740 301 824;
  • 14) 0,890 818 823 834 740 301 824 × 2 = 1 + 0,781 637 647 669 480 603 648;
  • 15) 0,781 637 647 669 480 603 648 × 2 = 1 + 0,563 275 295 338 961 207 296;
  • 16) 0,563 275 295 338 961 207 296 × 2 = 1 + 0,126 550 590 677 922 414 592;
  • 17) 0,126 550 590 677 922 414 592 × 2 = 0 + 0,253 101 181 355 844 829 184;
  • 18) 0,253 101 181 355 844 829 184 × 2 = 0 + 0,506 202 362 711 689 658 368;
  • 19) 0,506 202 362 711 689 658 368 × 2 = 1 + 0,012 404 725 423 379 316 736;
  • 20) 0,012 404 725 423 379 316 736 × 2 = 0 + 0,024 809 450 846 758 633 472;
  • 21) 0,024 809 450 846 758 633 472 × 2 = 0 + 0,049 618 901 693 517 266 944;
  • 22) 0,049 618 901 693 517 266 944 × 2 = 0 + 0,099 237 803 387 034 533 888;
  • 23) 0,099 237 803 387 034 533 888 × 2 = 0 + 0,198 475 606 774 069 067 776;
  • 24) 0,198 475 606 774 069 067 776 × 2 = 0 + 0,396 951 213 548 138 135 552;
  • 25) 0,396 951 213 548 138 135 552 × 2 = 0 + 0,793 902 427 096 276 271 104;
  • 26) 0,793 902 427 096 276 271 104 × 2 = 1 + 0,587 804 854 192 552 542 208;
  • 27) 0,587 804 854 192 552 542 208 × 2 = 1 + 0,175 609 708 385 105 084 416;
  • 28) 0,175 609 708 385 105 084 416 × 2 = 0 + 0,351 219 416 770 210 168 832;
  • 29) 0,351 219 416 770 210 168 832 × 2 = 0 + 0,702 438 833 540 420 337 664;
  • 30) 0,702 438 833 540 420 337 664 × 2 = 1 + 0,404 877 667 080 840 675 328;
  • 31) 0,404 877 667 080 840 675 328 × 2 = 0 + 0,809 755 334 161 681 350 656;
  • 32) 0,809 755 334 161 681 350 656 × 2 = 1 + 0,619 510 668 323 362 701 312;
  • 33) 0,619 510 668 323 362 701 312 × 2 = 1 + 0,239 021 336 646 725 402 624;
  • 34) 0,239 021 336 646 725 402 624 × 2 = 0 + 0,478 042 673 293 450 805 248;
  • 35) 0,478 042 673 293 450 805 248 × 2 = 0 + 0,956 085 346 586 901 610 496;
  • 36) 0,956 085 346 586 901 610 496 × 2 = 1 + 0,912 170 693 173 803 220 992;
  • 37) 0,912 170 693 173 803 220 992 × 2 = 1 + 0,824 341 386 347 606 441 984;
  • 38) 0,824 341 386 347 606 441 984 × 2 = 1 + 0,648 682 772 695 212 883 968;
  • 39) 0,648 682 772 695 212 883 968 × 2 = 1 + 0,297 365 545 390 425 767 936;
  • 40) 0,297 365 545 390 425 767 936 × 2 = 0 + 0,594 731 090 780 851 535 872;
  • 41) 0,594 731 090 780 851 535 872 × 2 = 1 + 0,189 462 181 561 703 071 744;
  • 42) 0,189 462 181 561 703 071 744 × 2 = 0 + 0,378 924 363 123 406 143 488;
  • 43) 0,378 924 363 123 406 143 488 × 2 = 0 + 0,757 848 726 246 812 286 976;
  • 44) 0,757 848 726 246 812 286 976 × 2 = 1 + 0,515 697 452 493 624 573 952;
  • 45) 0,515 697 452 493 624 573 952 × 2 = 1 + 0,031 394 904 987 249 147 904;
  • 46) 0,031 394 904 987 249 147 904 × 2 = 0 + 0,062 789 809 974 498 295 808;
  • 47) 0,062 789 809 974 498 295 808 × 2 = 0 + 0,125 579 619 948 996 591 616;
  • 48) 0,125 579 619 948 996 591 616 × 2 = 0 + 0,251 159 239 897 993 183 232;
  • 49) 0,251 159 239 897 993 183 232 × 2 = 0 + 0,502 318 479 795 986 366 464;
  • 50) 0,502 318 479 795 986 366 464 × 2 = 1 + 0,004 636 959 591 972 732 928;
  • 51) 0,004 636 959 591 972 732 928 × 2 = 0 + 0,009 273 919 183 945 465 856;
  • 52) 0,009 273 919 183 945 465 856 × 2 = 0 + 0,018 547 838 367 890 931 712;
  • 53) 0,018 547 838 367 890 931 712 × 2 = 0 + 0,037 095 676 735 781 863 424;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,441 148 781 594 706 389 197(10) =

0,0111 0000 1110 1111 0010 0000 0110 0101 1001 1110 1001 1000 0100 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

6,441 148 781 594 706 389 197(10) =

110,0111 0000 1110 1111 0010 0000 0110 0101 1001 1110 1001 1000 0100 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


6,441 148 781 594 706 389 197(10) =

110,0111 0000 1110 1111 0010 0000 0110 0101 1001 1110 1001 1000 0100 0(2) =

110,0111 0000 1110 1111 0010 0000 0110 0101 1001 1110 1001 1000 0100 0(2) × 20 =

1,1001 1100 0011 1011 1100 1000 0001 1001 0110 0111 1010 0110 0001 000(2) × 22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 1100 0011 1011 1100 1000 0001 1001 0110 0111 1010 0110 0001 000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 1100 0011 1011 1100 1000 0001 1001 0110 0111 1010 0110 0001 000 =

1001 1100 0011 1011 1100 1000 0001 1001 0110 0111 1010 0110 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
1001 1100 0011 1011 1100 1000 0001 1001 0110 0111 1010 0110 0001


Numărul zecimal 6,441 148 781 594 706 389 197 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0001 - 1001 1100 0011 1011 1100 1000 0001 1001 0110 0111 1010 0110 0001

Distribuie

» Scriere 6,441 148 781 594 706 389 242 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100