6,454 545 454 545 454 545 455 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 6,454 545 454 545 454 545 455 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
6,454 545 454 545 454 545 455 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 6.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

6(10) =

110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,454 545 454 545 454 545 455 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,454 545 454 545 454 545 455 8 × 2 = 0 + 0,909 090 909 090 909 090 911 6;
  • 2) 0,909 090 909 090 909 090 911 6 × 2 = 1 + 0,818 181 818 181 818 181 823 2;
  • 3) 0,818 181 818 181 818 181 823 2 × 2 = 1 + 0,636 363 636 363 636 363 646 4;
  • 4) 0,636 363 636 363 636 363 646 4 × 2 = 1 + 0,272 727 272 727 272 727 292 8;
  • 5) 0,272 727 272 727 272 727 292 8 × 2 = 0 + 0,545 454 545 454 545 454 585 6;
  • 6) 0,545 454 545 454 545 454 585 6 × 2 = 1 + 0,090 909 090 909 090 909 171 2;
  • 7) 0,090 909 090 909 090 909 171 2 × 2 = 0 + 0,181 818 181 818 181 818 342 4;
  • 8) 0,181 818 181 818 181 818 342 4 × 2 = 0 + 0,363 636 363 636 363 636 684 8;
  • 9) 0,363 636 363 636 363 636 684 8 × 2 = 0 + 0,727 272 727 272 727 273 369 6;
  • 10) 0,727 272 727 272 727 273 369 6 × 2 = 1 + 0,454 545 454 545 454 546 739 2;
  • 11) 0,454 545 454 545 454 546 739 2 × 2 = 0 + 0,909 090 909 090 909 093 478 4;
  • 12) 0,909 090 909 090 909 093 478 4 × 2 = 1 + 0,818 181 818 181 818 186 956 8;
  • 13) 0,818 181 818 181 818 186 956 8 × 2 = 1 + 0,636 363 636 363 636 373 913 6;
  • 14) 0,636 363 636 363 636 373 913 6 × 2 = 1 + 0,272 727 272 727 272 747 827 2;
  • 15) 0,272 727 272 727 272 747 827 2 × 2 = 0 + 0,545 454 545 454 545 495 654 4;
  • 16) 0,545 454 545 454 545 495 654 4 × 2 = 1 + 0,090 909 090 909 090 991 308 8;
  • 17) 0,090 909 090 909 090 991 308 8 × 2 = 0 + 0,181 818 181 818 181 982 617 6;
  • 18) 0,181 818 181 818 181 982 617 6 × 2 = 0 + 0,363 636 363 636 363 965 235 2;
  • 19) 0,363 636 363 636 363 965 235 2 × 2 = 0 + 0,727 272 727 272 727 930 470 4;
  • 20) 0,727 272 727 272 727 930 470 4 × 2 = 1 + 0,454 545 454 545 455 860 940 8;
  • 21) 0,454 545 454 545 455 860 940 8 × 2 = 0 + 0,909 090 909 090 911 721 881 6;
  • 22) 0,909 090 909 090 911 721 881 6 × 2 = 1 + 0,818 181 818 181 823 443 763 2;
  • 23) 0,818 181 818 181 823 443 763 2 × 2 = 1 + 0,636 363 636 363 646 887 526 4;
  • 24) 0,636 363 636 363 646 887 526 4 × 2 = 1 + 0,272 727 272 727 293 775 052 8;
  • 25) 0,272 727 272 727 293 775 052 8 × 2 = 0 + 0,545 454 545 454 587 550 105 6;
  • 26) 0,545 454 545 454 587 550 105 6 × 2 = 1 + 0,090 909 090 909 175 100 211 2;
  • 27) 0,090 909 090 909 175 100 211 2 × 2 = 0 + 0,181 818 181 818 350 200 422 4;
  • 28) 0,181 818 181 818 350 200 422 4 × 2 = 0 + 0,363 636 363 636 700 400 844 8;
  • 29) 0,363 636 363 636 700 400 844 8 × 2 = 0 + 0,727 272 727 273 400 801 689 6;
  • 30) 0,727 272 727 273 400 801 689 6 × 2 = 1 + 0,454 545 454 546 801 603 379 2;
  • 31) 0,454 545 454 546 801 603 379 2 × 2 = 0 + 0,909 090 909 093 603 206 758 4;
  • 32) 0,909 090 909 093 603 206 758 4 × 2 = 1 + 0,818 181 818 187 206 413 516 8;
  • 33) 0,818 181 818 187 206 413 516 8 × 2 = 1 + 0,636 363 636 374 412 827 033 6;
  • 34) 0,636 363 636 374 412 827 033 6 × 2 = 1 + 0,272 727 272 748 825 654 067 2;
  • 35) 0,272 727 272 748 825 654 067 2 × 2 = 0 + 0,545 454 545 497 651 308 134 4;
  • 36) 0,545 454 545 497 651 308 134 4 × 2 = 1 + 0,090 909 090 995 302 616 268 8;
  • 37) 0,090 909 090 995 302 616 268 8 × 2 = 0 + 0,181 818 181 990 605 232 537 6;
  • 38) 0,181 818 181 990 605 232 537 6 × 2 = 0 + 0,363 636 363 981 210 465 075 2;
  • 39) 0,363 636 363 981 210 465 075 2 × 2 = 0 + 0,727 272 727 962 420 930 150 4;
  • 40) 0,727 272 727 962 420 930 150 4 × 2 = 1 + 0,454 545 455 924 841 860 300 8;
  • 41) 0,454 545 455 924 841 860 300 8 × 2 = 0 + 0,909 090 911 849 683 720 601 6;
  • 42) 0,909 090 911 849 683 720 601 6 × 2 = 1 + 0,818 181 823 699 367 441 203 2;
  • 43) 0,818 181 823 699 367 441 203 2 × 2 = 1 + 0,636 363 647 398 734 882 406 4;
  • 44) 0,636 363 647 398 734 882 406 4 × 2 = 1 + 0,272 727 294 797 469 764 812 8;
  • 45) 0,272 727 294 797 469 764 812 8 × 2 = 0 + 0,545 454 589 594 939 529 625 6;
  • 46) 0,545 454 589 594 939 529 625 6 × 2 = 1 + 0,090 909 179 189 879 059 251 2;
  • 47) 0,090 909 179 189 879 059 251 2 × 2 = 0 + 0,181 818 358 379 758 118 502 4;
  • 48) 0,181 818 358 379 758 118 502 4 × 2 = 0 + 0,363 636 716 759 516 237 004 8;
  • 49) 0,363 636 716 759 516 237 004 8 × 2 = 0 + 0,727 273 433 519 032 474 009 6;
  • 50) 0,727 273 433 519 032 474 009 6 × 2 = 1 + 0,454 546 867 038 064 948 019 2;
  • 51) 0,454 546 867 038 064 948 019 2 × 2 = 0 + 0,909 093 734 076 129 896 038 4;
  • 52) 0,909 093 734 076 129 896 038 4 × 2 = 1 + 0,818 187 468 152 259 792 076 8;
  • 53) 0,818 187 468 152 259 792 076 8 × 2 = 1 + 0,636 374 936 304 519 584 153 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,454 545 454 545 454 545 455 8(10) =

0,0111 0100 0101 1101 0001 0111 0100 0101 1101 0001 0111 0100 0101 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

6,454 545 454 545 454 545 455 8(10) =

110,0111 0100 0101 1101 0001 0111 0100 0101 1101 0001 0111 0100 0101 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


6,454 545 454 545 454 545 455 8(10) =

110,0111 0100 0101 1101 0001 0111 0100 0101 1101 0001 0111 0100 0101 1(2) =

110,0111 0100 0101 1101 0001 0111 0100 0101 1101 0001 0111 0100 0101 1(2) × 20 =

1,1001 1101 0001 0111 0100 0101 1101 0001 0111 0100 0101 1101 0001 011(2) × 22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 1101 0001 0111 0100 0101 1101 0001 0111 0100 0101 1101 0001 011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 1101 0001 0111 0100 0101 1101 0001 0111 0100 0101 1101 0001 011 =

1001 1101 0001 0111 0100 0101 1101 0001 0111 0100 0101 1101 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
1001 1101 0001 0111 0100 0101 1101 0001 0111 0100 0101 1101 0001


Numărul zecimal 6,454 545 454 545 454 545 455 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0001 - 1001 1101 0001 0111 0100 0101 1101 0001 0111 0100 0101 1101 0001

Distribuie

» Scriere 6,454 545 454 545 454 545 450 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100