6,833 210 784 070 638 623 841 371 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 6,833 210 784 070 638 623 841 371 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
6,833 210 784 070 638 623 841 371 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 6.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

6(10) =

110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,833 210 784 070 638 623 841 371 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,833 210 784 070 638 623 841 371 1 × 2 = 1 + 0,666 421 568 141 277 247 682 742 2;
  • 2) 0,666 421 568 141 277 247 682 742 2 × 2 = 1 + 0,332 843 136 282 554 495 365 484 4;
  • 3) 0,332 843 136 282 554 495 365 484 4 × 2 = 0 + 0,665 686 272 565 108 990 730 968 8;
  • 4) 0,665 686 272 565 108 990 730 968 8 × 2 = 1 + 0,331 372 545 130 217 981 461 937 6;
  • 5) 0,331 372 545 130 217 981 461 937 6 × 2 = 0 + 0,662 745 090 260 435 962 923 875 2;
  • 6) 0,662 745 090 260 435 962 923 875 2 × 2 = 1 + 0,325 490 180 520 871 925 847 750 4;
  • 7) 0,325 490 180 520 871 925 847 750 4 × 2 = 0 + 0,650 980 361 041 743 851 695 500 8;
  • 8) 0,650 980 361 041 743 851 695 500 8 × 2 = 1 + 0,301 960 722 083 487 703 391 001 6;
  • 9) 0,301 960 722 083 487 703 391 001 6 × 2 = 0 + 0,603 921 444 166 975 406 782 003 2;
  • 10) 0,603 921 444 166 975 406 782 003 2 × 2 = 1 + 0,207 842 888 333 950 813 564 006 4;
  • 11) 0,207 842 888 333 950 813 564 006 4 × 2 = 0 + 0,415 685 776 667 901 627 128 012 8;
  • 12) 0,415 685 776 667 901 627 128 012 8 × 2 = 0 + 0,831 371 553 335 803 254 256 025 6;
  • 13) 0,831 371 553 335 803 254 256 025 6 × 2 = 1 + 0,662 743 106 671 606 508 512 051 2;
  • 14) 0,662 743 106 671 606 508 512 051 2 × 2 = 1 + 0,325 486 213 343 213 017 024 102 4;
  • 15) 0,325 486 213 343 213 017 024 102 4 × 2 = 0 + 0,650 972 426 686 426 034 048 204 8;
  • 16) 0,650 972 426 686 426 034 048 204 8 × 2 = 1 + 0,301 944 853 372 852 068 096 409 6;
  • 17) 0,301 944 853 372 852 068 096 409 6 × 2 = 0 + 0,603 889 706 745 704 136 192 819 2;
  • 18) 0,603 889 706 745 704 136 192 819 2 × 2 = 1 + 0,207 779 413 491 408 272 385 638 4;
  • 19) 0,207 779 413 491 408 272 385 638 4 × 2 = 0 + 0,415 558 826 982 816 544 771 276 8;
  • 20) 0,415 558 826 982 816 544 771 276 8 × 2 = 0 + 0,831 117 653 965 633 089 542 553 6;
  • 21) 0,831 117 653 965 633 089 542 553 6 × 2 = 1 + 0,662 235 307 931 266 179 085 107 2;
  • 22) 0,662 235 307 931 266 179 085 107 2 × 2 = 1 + 0,324 470 615 862 532 358 170 214 4;
  • 23) 0,324 470 615 862 532 358 170 214 4 × 2 = 0 + 0,648 941 231 725 064 716 340 428 8;
  • 24) 0,648 941 231 725 064 716 340 428 8 × 2 = 1 + 0,297 882 463 450 129 432 680 857 6;
  • 25) 0,297 882 463 450 129 432 680 857 6 × 2 = 0 + 0,595 764 926 900 258 865 361 715 2;
  • 26) 0,595 764 926 900 258 865 361 715 2 × 2 = 1 + 0,191 529 853 800 517 730 723 430 4;
  • 27) 0,191 529 853 800 517 730 723 430 4 × 2 = 0 + 0,383 059 707 601 035 461 446 860 8;
  • 28) 0,383 059 707 601 035 461 446 860 8 × 2 = 0 + 0,766 119 415 202 070 922 893 721 6;
  • 29) 0,766 119 415 202 070 922 893 721 6 × 2 = 1 + 0,532 238 830 404 141 845 787 443 2;
  • 30) 0,532 238 830 404 141 845 787 443 2 × 2 = 1 + 0,064 477 660 808 283 691 574 886 4;
  • 31) 0,064 477 660 808 283 691 574 886 4 × 2 = 0 + 0,128 955 321 616 567 383 149 772 8;
  • 32) 0,128 955 321 616 567 383 149 772 8 × 2 = 0 + 0,257 910 643 233 134 766 299 545 6;
  • 33) 0,257 910 643 233 134 766 299 545 6 × 2 = 0 + 0,515 821 286 466 269 532 599 091 2;
  • 34) 0,515 821 286 466 269 532 599 091 2 × 2 = 1 + 0,031 642 572 932 539 065 198 182 4;
  • 35) 0,031 642 572 932 539 065 198 182 4 × 2 = 0 + 0,063 285 145 865 078 130 396 364 8;
  • 36) 0,063 285 145 865 078 130 396 364 8 × 2 = 0 + 0,126 570 291 730 156 260 792 729 6;
  • 37) 0,126 570 291 730 156 260 792 729 6 × 2 = 0 + 0,253 140 583 460 312 521 585 459 2;
  • 38) 0,253 140 583 460 312 521 585 459 2 × 2 = 0 + 0,506 281 166 920 625 043 170 918 4;
  • 39) 0,506 281 166 920 625 043 170 918 4 × 2 = 1 + 0,012 562 333 841 250 086 341 836 8;
  • 40) 0,012 562 333 841 250 086 341 836 8 × 2 = 0 + 0,025 124 667 682 500 172 683 673 6;
  • 41) 0,025 124 667 682 500 172 683 673 6 × 2 = 0 + 0,050 249 335 365 000 345 367 347 2;
  • 42) 0,050 249 335 365 000 345 367 347 2 × 2 = 0 + 0,100 498 670 730 000 690 734 694 4;
  • 43) 0,100 498 670 730 000 690 734 694 4 × 2 = 0 + 0,200 997 341 460 001 381 469 388 8;
  • 44) 0,200 997 341 460 001 381 469 388 8 × 2 = 0 + 0,401 994 682 920 002 762 938 777 6;
  • 45) 0,401 994 682 920 002 762 938 777 6 × 2 = 0 + 0,803 989 365 840 005 525 877 555 2;
  • 46) 0,803 989 365 840 005 525 877 555 2 × 2 = 1 + 0,607 978 731 680 011 051 755 110 4;
  • 47) 0,607 978 731 680 011 051 755 110 4 × 2 = 1 + 0,215 957 463 360 022 103 510 220 8;
  • 48) 0,215 957 463 360 022 103 510 220 8 × 2 = 0 + 0,431 914 926 720 044 207 020 441 6;
  • 49) 0,431 914 926 720 044 207 020 441 6 × 2 = 0 + 0,863 829 853 440 088 414 040 883 2;
  • 50) 0,863 829 853 440 088 414 040 883 2 × 2 = 1 + 0,727 659 706 880 176 828 081 766 4;
  • 51) 0,727 659 706 880 176 828 081 766 4 × 2 = 1 + 0,455 319 413 760 353 656 163 532 8;
  • 52) 0,455 319 413 760 353 656 163 532 8 × 2 = 0 + 0,910 638 827 520 707 312 327 065 6;
  • 53) 0,910 638 827 520 707 312 327 065 6 × 2 = 1 + 0,821 277 655 041 414 624 654 131 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,833 210 784 070 638 623 841 371 1(10) =

0,1101 0101 0100 1101 0100 1101 0100 1100 0100 0010 0000 0110 0110 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

6,833 210 784 070 638 623 841 371 1(10) =

110,1101 0101 0100 1101 0100 1101 0100 1100 0100 0010 0000 0110 0110 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


6,833 210 784 070 638 623 841 371 1(10) =

110,1101 0101 0100 1101 0100 1101 0100 1100 0100 0010 0000 0110 0110 1(2) =

110,1101 0101 0100 1101 0100 1101 0100 1100 0100 0010 0000 0110 0110 1(2) × 20 =

1,1011 0101 0101 0011 0101 0011 0101 0011 0001 0000 1000 0001 1001 101(2) × 22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 0101 0101 0011 0101 0011 0101 0011 0001 0000 1000 0001 1001 101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 0101 0101 0011 0101 0011 0101 0011 0001 0000 1000 0001 1001 101 =

1011 0101 0101 0011 0101 0011 0101 0011 0001 0000 1000 0001 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
1011 0101 0101 0011 0101 0011 0101 0011 0001 0000 1000 0001 1001


Numărul zecimal 6,833 210 784 070 638 623 841 371 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0001 - 1011 0101 0101 0011 0101 0011 0101 0011 0001 0000 1000 0001 1001

Distribuie

» Scriere 6,833 210 784 070 638 623 841 362 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100