6,999 999 999 999 999 555 909 98 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 6,999 999 999 999 999 555 909 98(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
6,999 999 999 999 999 555 909 98(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 6.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

6(10) =

110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,999 999 999 999 999 555 909 98.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,999 999 999 999 999 555 909 98 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 111 819 96;
  • 2) 0,999 999 999 999 999 111 819 96 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 998 223 639 92;
  • 3) 0,999 999 999 999 998 223 639 92 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 996 447 279 84;
  • 4) 0,999 999 999 999 996 447 279 84 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 992 894 559 68;
  • 5) 0,999 999 999 999 992 894 559 68 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 985 789 119 36;
  • 6) 0,999 999 999 999 985 789 119 36 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 971 578 238 72;
  • 7) 0,999 999 999 999 971 578 238 72 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 943 156 477 44;
  • 8) 0,999 999 999 999 943 156 477 44 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 886 312 954 88;
  • 9) 0,999 999 999 999 886 312 954 88 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 772 625 909 76;
  • 10) 0,999 999 999 999 772 625 909 76 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 545 251 819 52;
  • 11) 0,999 999 999 999 545 251 819 52 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 090 503 639 04;
  • 12) 0,999 999 999 999 090 503 639 04 × 2 = 1 + 0,999 999 999 998 181 007 278 08;
  • 13) 0,999 999 999 998 181 007 278 08 × 2 = 1 + 0,999 999 999 996 362 014 556 16;
  • 14) 0,999 999 999 996 362 014 556 16 × 2 = 1 + 0,999 999 999 992 724 029 112 32;
  • 15) 0,999 999 999 992 724 029 112 32 × 2 = 1 + 0,999 999 999 985 448 058 224 64;
  • 16) 0,999 999 999 985 448 058 224 64 × 2 = 1 + 0,999 999 999 970 896 116 449 28;
  • 17) 0,999 999 999 970 896 116 449 28 × 2 = 1 + 0,999 999 999 941 792 232 898 56;
  • 18) 0,999 999 999 941 792 232 898 56 × 2 = 1 + 0,999 999 999 883 584 465 797 12;
  • 19) 0,999 999 999 883 584 465 797 12 × 2 = 1 + 0,999 999 999 767 168 931 594 24;
  • 20) 0,999 999 999 767 168 931 594 24 × 2 = 1 + 0,999 999 999 534 337 863 188 48;
  • 21) 0,999 999 999 534 337 863 188 48 × 2 = 1 + 0,999 999 999 068 675 726 376 96;
  • 22) 0,999 999 999 068 675 726 376 96 × 2 = 1 + 0,999 999 998 137 351 452 753 92;
  • 23) 0,999 999 998 137 351 452 753 92 × 2 = 1 + 0,999 999 996 274 702 905 507 84;
  • 24) 0,999 999 996 274 702 905 507 84 × 2 = 1 + 0,999 999 992 549 405 811 015 68;
  • 25) 0,999 999 992 549 405 811 015 68 × 2 = 1 + 0,999 999 985 098 811 622 031 36;
  • 26) 0,999 999 985 098 811 622 031 36 × 2 = 1 + 0,999 999 970 197 623 244 062 72;
  • 27) 0,999 999 970 197 623 244 062 72 × 2 = 1 + 0,999 999 940 395 246 488 125 44;
  • 28) 0,999 999 940 395 246 488 125 44 × 2 = 1 + 0,999 999 880 790 492 976 250 88;
  • 29) 0,999 999 880 790 492 976 250 88 × 2 = 1 + 0,999 999 761 580 985 952 501 76;
  • 30) 0,999 999 761 580 985 952 501 76 × 2 = 1 + 0,999 999 523 161 971 905 003 52;
  • 31) 0,999 999 523 161 971 905 003 52 × 2 = 1 + 0,999 999 046 323 943 810 007 04;
  • 32) 0,999 999 046 323 943 810 007 04 × 2 = 1 + 0,999 998 092 647 887 620 014 08;
  • 33) 0,999 998 092 647 887 620 014 08 × 2 = 1 + 0,999 996 185 295 775 240 028 16;
  • 34) 0,999 996 185 295 775 240 028 16 × 2 = 1 + 0,999 992 370 591 550 480 056 32;
  • 35) 0,999 992 370 591 550 480 056 32 × 2 = 1 + 0,999 984 741 183 100 960 112 64;
  • 36) 0,999 984 741 183 100 960 112 64 × 2 = 1 + 0,999 969 482 366 201 920 225 28;
  • 37) 0,999 969 482 366 201 920 225 28 × 2 = 1 + 0,999 938 964 732 403 840 450 56;
  • 38) 0,999 938 964 732 403 840 450 56 × 2 = 1 + 0,999 877 929 464 807 680 901 12;
  • 39) 0,999 877 929 464 807 680 901 12 × 2 = 1 + 0,999 755 858 929 615 361 802 24;
  • 40) 0,999 755 858 929 615 361 802 24 × 2 = 1 + 0,999 511 717 859 230 723 604 48;
  • 41) 0,999 511 717 859 230 723 604 48 × 2 = 1 + 0,999 023 435 718 461 447 208 96;
  • 42) 0,999 023 435 718 461 447 208 96 × 2 = 1 + 0,998 046 871 436 922 894 417 92;
  • 43) 0,998 046 871 436 922 894 417 92 × 2 = 1 + 0,996 093 742 873 845 788 835 84;
  • 44) 0,996 093 742 873 845 788 835 84 × 2 = 1 + 0,992 187 485 747 691 577 671 68;
  • 45) 0,992 187 485 747 691 577 671 68 × 2 = 1 + 0,984 374 971 495 383 155 343 36;
  • 46) 0,984 374 971 495 383 155 343 36 × 2 = 1 + 0,968 749 942 990 766 310 686 72;
  • 47) 0,968 749 942 990 766 310 686 72 × 2 = 1 + 0,937 499 885 981 532 621 373 44;
  • 48) 0,937 499 885 981 532 621 373 44 × 2 = 1 + 0,874 999 771 963 065 242 746 88;
  • 49) 0,874 999 771 963 065 242 746 88 × 2 = 1 + 0,749 999 543 926 130 485 493 76;
  • 50) 0,749 999 543 926 130 485 493 76 × 2 = 1 + 0,499 999 087 852 260 970 987 52;
  • 51) 0,499 999 087 852 260 970 987 52 × 2 = 0 + 0,999 998 175 704 521 941 975 04;
  • 52) 0,999 998 175 704 521 941 975 04 × 2 = 1 + 0,999 996 351 409 043 883 950 08;
  • 53) 0,999 996 351 409 043 883 950 08 × 2 = 1 + 0,999 992 702 818 087 767 900 16;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,999 999 999 999 999 555 909 98(10) =

0,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

6,999 999 999 999 999 555 909 98(10) =

110,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


6,999 999 999 999 999 555 909 98(10) =

110,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101 1(2) =

110,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101 1(2) × 20 =

1,1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 011(2) × 22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 011 =

1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111


Numărul zecimal 6,999 999 999 999 999 555 909 98 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0001 - 1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

» Scriere 6,999 999 999 999 999 555 909 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100