6,999 999 999 999 999 555 910 762 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 6,999 999 999 999 999 555 910 762(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
6,999 999 999 999 999 555 910 762(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 6.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

6(10) =

110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,999 999 999 999 999 555 910 762.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,999 999 999 999 999 555 910 762 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 111 821 524;
  • 2) 0,999 999 999 999 999 111 821 524 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 998 223 643 048;
  • 3) 0,999 999 999 999 998 223 643 048 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 996 447 286 096;
  • 4) 0,999 999 999 999 996 447 286 096 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 992 894 572 192;
  • 5) 0,999 999 999 999 992 894 572 192 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 985 789 144 384;
  • 6) 0,999 999 999 999 985 789 144 384 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 971 578 288 768;
  • 7) 0,999 999 999 999 971 578 288 768 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 943 156 577 536;
  • 8) 0,999 999 999 999 943 156 577 536 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 886 313 155 072;
  • 9) 0,999 999 999 999 886 313 155 072 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 772 626 310 144;
  • 10) 0,999 999 999 999 772 626 310 144 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 545 252 620 288;
  • 11) 0,999 999 999 999 545 252 620 288 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 090 505 240 576;
  • 12) 0,999 999 999 999 090 505 240 576 × 2 = 1 + 0,999 999 999 998 181 010 481 152;
  • 13) 0,999 999 999 998 181 010 481 152 × 2 = 1 + 0,999 999 999 996 362 020 962 304;
  • 14) 0,999 999 999 996 362 020 962 304 × 2 = 1 + 0,999 999 999 992 724 041 924 608;
  • 15) 0,999 999 999 992 724 041 924 608 × 2 = 1 + 0,999 999 999 985 448 083 849 216;
  • 16) 0,999 999 999 985 448 083 849 216 × 2 = 1 + 0,999 999 999 970 896 167 698 432;
  • 17) 0,999 999 999 970 896 167 698 432 × 2 = 1 + 0,999 999 999 941 792 335 396 864;
  • 18) 0,999 999 999 941 792 335 396 864 × 2 = 1 + 0,999 999 999 883 584 670 793 728;
  • 19) 0,999 999 999 883 584 670 793 728 × 2 = 1 + 0,999 999 999 767 169 341 587 456;
  • 20) 0,999 999 999 767 169 341 587 456 × 2 = 1 + 0,999 999 999 534 338 683 174 912;
  • 21) 0,999 999 999 534 338 683 174 912 × 2 = 1 + 0,999 999 999 068 677 366 349 824;
  • 22) 0,999 999 999 068 677 366 349 824 × 2 = 1 + 0,999 999 998 137 354 732 699 648;
  • 23) 0,999 999 998 137 354 732 699 648 × 2 = 1 + 0,999 999 996 274 709 465 399 296;
  • 24) 0,999 999 996 274 709 465 399 296 × 2 = 1 + 0,999 999 992 549 418 930 798 592;
  • 25) 0,999 999 992 549 418 930 798 592 × 2 = 1 + 0,999 999 985 098 837 861 597 184;
  • 26) 0,999 999 985 098 837 861 597 184 × 2 = 1 + 0,999 999 970 197 675 723 194 368;
  • 27) 0,999 999 970 197 675 723 194 368 × 2 = 1 + 0,999 999 940 395 351 446 388 736;
  • 28) 0,999 999 940 395 351 446 388 736 × 2 = 1 + 0,999 999 880 790 702 892 777 472;
  • 29) 0,999 999 880 790 702 892 777 472 × 2 = 1 + 0,999 999 761 581 405 785 554 944;
  • 30) 0,999 999 761 581 405 785 554 944 × 2 = 1 + 0,999 999 523 162 811 571 109 888;
  • 31) 0,999 999 523 162 811 571 109 888 × 2 = 1 + 0,999 999 046 325 623 142 219 776;
  • 32) 0,999 999 046 325 623 142 219 776 × 2 = 1 + 0,999 998 092 651 246 284 439 552;
  • 33) 0,999 998 092 651 246 284 439 552 × 2 = 1 + 0,999 996 185 302 492 568 879 104;
  • 34) 0,999 996 185 302 492 568 879 104 × 2 = 1 + 0,999 992 370 604 985 137 758 208;
  • 35) 0,999 992 370 604 985 137 758 208 × 2 = 1 + 0,999 984 741 209 970 275 516 416;
  • 36) 0,999 984 741 209 970 275 516 416 × 2 = 1 + 0,999 969 482 419 940 551 032 832;
  • 37) 0,999 969 482 419 940 551 032 832 × 2 = 1 + 0,999 938 964 839 881 102 065 664;
  • 38) 0,999 938 964 839 881 102 065 664 × 2 = 1 + 0,999 877 929 679 762 204 131 328;
  • 39) 0,999 877 929 679 762 204 131 328 × 2 = 1 + 0,999 755 859 359 524 408 262 656;
  • 40) 0,999 755 859 359 524 408 262 656 × 2 = 1 + 0,999 511 718 719 048 816 525 312;
  • 41) 0,999 511 718 719 048 816 525 312 × 2 = 1 + 0,999 023 437 438 097 633 050 624;
  • 42) 0,999 023 437 438 097 633 050 624 × 2 = 1 + 0,998 046 874 876 195 266 101 248;
  • 43) 0,998 046 874 876 195 266 101 248 × 2 = 1 + 0,996 093 749 752 390 532 202 496;
  • 44) 0,996 093 749 752 390 532 202 496 × 2 = 1 + 0,992 187 499 504 781 064 404 992;
  • 45) 0,992 187 499 504 781 064 404 992 × 2 = 1 + 0,984 374 999 009 562 128 809 984;
  • 46) 0,984 374 999 009 562 128 809 984 × 2 = 1 + 0,968 749 998 019 124 257 619 968;
  • 47) 0,968 749 998 019 124 257 619 968 × 2 = 1 + 0,937 499 996 038 248 515 239 936;
  • 48) 0,937 499 996 038 248 515 239 936 × 2 = 1 + 0,874 999 992 076 497 030 479 872;
  • 49) 0,874 999 992 076 497 030 479 872 × 2 = 1 + 0,749 999 984 152 994 060 959 744;
  • 50) 0,749 999 984 152 994 060 959 744 × 2 = 1 + 0,499 999 968 305 988 121 919 488;
  • 51) 0,499 999 968 305 988 121 919 488 × 2 = 0 + 0,999 999 936 611 976 243 838 976;
  • 52) 0,999 999 936 611 976 243 838 976 × 2 = 1 + 0,999 999 873 223 952 487 677 952;
  • 53) 0,999 999 873 223 952 487 677 952 × 2 = 1 + 0,999 999 746 447 904 975 355 904;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,999 999 999 999 999 555 910 762(10) =

0,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

6,999 999 999 999 999 555 910 762(10) =

110,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


6,999 999 999 999 999 555 910 762(10) =

110,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101 1(2) =

110,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101 1(2) × 20 =

1,1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 011(2) × 22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 011 =

1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111


Numărul zecimal 6,999 999 999 999 999 555 910 762 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0001 - 1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

» Scriere 6,999 999 999 999 999 555 910 682 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100