6,999 999 999 999 999 555 910 81 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 6,999 999 999 999 999 555 910 81(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
6,999 999 999 999 999 555 910 81(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 6.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

6(10) =

110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,999 999 999 999 999 555 910 81.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,999 999 999 999 999 555 910 81 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 111 821 62;
  • 2) 0,999 999 999 999 999 111 821 62 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 998 223 643 24;
  • 3) 0,999 999 999 999 998 223 643 24 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 996 447 286 48;
  • 4) 0,999 999 999 999 996 447 286 48 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 992 894 572 96;
  • 5) 0,999 999 999 999 992 894 572 96 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 985 789 145 92;
  • 6) 0,999 999 999 999 985 789 145 92 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 971 578 291 84;
  • 7) 0,999 999 999 999 971 578 291 84 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 943 156 583 68;
  • 8) 0,999 999 999 999 943 156 583 68 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 886 313 167 36;
  • 9) 0,999 999 999 999 886 313 167 36 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 772 626 334 72;
  • 10) 0,999 999 999 999 772 626 334 72 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 545 252 669 44;
  • 11) 0,999 999 999 999 545 252 669 44 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 090 505 338 88;
  • 12) 0,999 999 999 999 090 505 338 88 × 2 = 1 + 0,999 999 999 998 181 010 677 76;
  • 13) 0,999 999 999 998 181 010 677 76 × 2 = 1 + 0,999 999 999 996 362 021 355 52;
  • 14) 0,999 999 999 996 362 021 355 52 × 2 = 1 + 0,999 999 999 992 724 042 711 04;
  • 15) 0,999 999 999 992 724 042 711 04 × 2 = 1 + 0,999 999 999 985 448 085 422 08;
  • 16) 0,999 999 999 985 448 085 422 08 × 2 = 1 + 0,999 999 999 970 896 170 844 16;
  • 17) 0,999 999 999 970 896 170 844 16 × 2 = 1 + 0,999 999 999 941 792 341 688 32;
  • 18) 0,999 999 999 941 792 341 688 32 × 2 = 1 + 0,999 999 999 883 584 683 376 64;
  • 19) 0,999 999 999 883 584 683 376 64 × 2 = 1 + 0,999 999 999 767 169 366 753 28;
  • 20) 0,999 999 999 767 169 366 753 28 × 2 = 1 + 0,999 999 999 534 338 733 506 56;
  • 21) 0,999 999 999 534 338 733 506 56 × 2 = 1 + 0,999 999 999 068 677 467 013 12;
  • 22) 0,999 999 999 068 677 467 013 12 × 2 = 1 + 0,999 999 998 137 354 934 026 24;
  • 23) 0,999 999 998 137 354 934 026 24 × 2 = 1 + 0,999 999 996 274 709 868 052 48;
  • 24) 0,999 999 996 274 709 868 052 48 × 2 = 1 + 0,999 999 992 549 419 736 104 96;
  • 25) 0,999 999 992 549 419 736 104 96 × 2 = 1 + 0,999 999 985 098 839 472 209 92;
  • 26) 0,999 999 985 098 839 472 209 92 × 2 = 1 + 0,999 999 970 197 678 944 419 84;
  • 27) 0,999 999 970 197 678 944 419 84 × 2 = 1 + 0,999 999 940 395 357 888 839 68;
  • 28) 0,999 999 940 395 357 888 839 68 × 2 = 1 + 0,999 999 880 790 715 777 679 36;
  • 29) 0,999 999 880 790 715 777 679 36 × 2 = 1 + 0,999 999 761 581 431 555 358 72;
  • 30) 0,999 999 761 581 431 555 358 72 × 2 = 1 + 0,999 999 523 162 863 110 717 44;
  • 31) 0,999 999 523 162 863 110 717 44 × 2 = 1 + 0,999 999 046 325 726 221 434 88;
  • 32) 0,999 999 046 325 726 221 434 88 × 2 = 1 + 0,999 998 092 651 452 442 869 76;
  • 33) 0,999 998 092 651 452 442 869 76 × 2 = 1 + 0,999 996 185 302 904 885 739 52;
  • 34) 0,999 996 185 302 904 885 739 52 × 2 = 1 + 0,999 992 370 605 809 771 479 04;
  • 35) 0,999 992 370 605 809 771 479 04 × 2 = 1 + 0,999 984 741 211 619 542 958 08;
  • 36) 0,999 984 741 211 619 542 958 08 × 2 = 1 + 0,999 969 482 423 239 085 916 16;
  • 37) 0,999 969 482 423 239 085 916 16 × 2 = 1 + 0,999 938 964 846 478 171 832 32;
  • 38) 0,999 938 964 846 478 171 832 32 × 2 = 1 + 0,999 877 929 692 956 343 664 64;
  • 39) 0,999 877 929 692 956 343 664 64 × 2 = 1 + 0,999 755 859 385 912 687 329 28;
  • 40) 0,999 755 859 385 912 687 329 28 × 2 = 1 + 0,999 511 718 771 825 374 658 56;
  • 41) 0,999 511 718 771 825 374 658 56 × 2 = 1 + 0,999 023 437 543 650 749 317 12;
  • 42) 0,999 023 437 543 650 749 317 12 × 2 = 1 + 0,998 046 875 087 301 498 634 24;
  • 43) 0,998 046 875 087 301 498 634 24 × 2 = 1 + 0,996 093 750 174 602 997 268 48;
  • 44) 0,996 093 750 174 602 997 268 48 × 2 = 1 + 0,992 187 500 349 205 994 536 96;
  • 45) 0,992 187 500 349 205 994 536 96 × 2 = 1 + 0,984 375 000 698 411 989 073 92;
  • 46) 0,984 375 000 698 411 989 073 92 × 2 = 1 + 0,968 750 001 396 823 978 147 84;
  • 47) 0,968 750 001 396 823 978 147 84 × 2 = 1 + 0,937 500 002 793 647 956 295 68;
  • 48) 0,937 500 002 793 647 956 295 68 × 2 = 1 + 0,875 000 005 587 295 912 591 36;
  • 49) 0,875 000 005 587 295 912 591 36 × 2 = 1 + 0,750 000 011 174 591 825 182 72;
  • 50) 0,750 000 011 174 591 825 182 72 × 2 = 1 + 0,500 000 022 349 183 650 365 44;
  • 51) 0,500 000 022 349 183 650 365 44 × 2 = 1 + 0,000 000 044 698 367 300 730 88;
  • 52) 0,000 000 044 698 367 300 730 88 × 2 = 0 + 0,000 000 089 396 734 601 461 76;
  • 53) 0,000 000 089 396 734 601 461 76 × 2 = 0 + 0,000 000 178 793 469 202 923 52;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,999 999 999 999 999 555 910 81(10) =

0,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

6,999 999 999 999 999 555 910 81(10) =

110,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


6,999 999 999 999 999 555 910 81(10) =

110,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 0(2) =

110,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 0(2) × 20 =

1,1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 100(2) × 22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 100 =

1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111


Numărul zecimal 6,999 999 999 999 999 555 910 81 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0001 - 1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

» Scriere 6,999 999 999 999 999 555 910 04 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100