6,999 999 999 999 999 555 912 67 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 6,999 999 999 999 999 555 912 67(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
6,999 999 999 999 999 555 912 67(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 6.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

6(10) =

110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,999 999 999 999 999 555 912 67.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,999 999 999 999 999 555 912 67 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 111 825 34;
  • 2) 0,999 999 999 999 999 111 825 34 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 998 223 650 68;
  • 3) 0,999 999 999 999 998 223 650 68 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 996 447 301 36;
  • 4) 0,999 999 999 999 996 447 301 36 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 992 894 602 72;
  • 5) 0,999 999 999 999 992 894 602 72 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 985 789 205 44;
  • 6) 0,999 999 999 999 985 789 205 44 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 971 578 410 88;
  • 7) 0,999 999 999 999 971 578 410 88 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 943 156 821 76;
  • 8) 0,999 999 999 999 943 156 821 76 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 886 313 643 52;
  • 9) 0,999 999 999 999 886 313 643 52 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 772 627 287 04;
  • 10) 0,999 999 999 999 772 627 287 04 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 545 254 574 08;
  • 11) 0,999 999 999 999 545 254 574 08 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 090 509 148 16;
  • 12) 0,999 999 999 999 090 509 148 16 × 2 = 1 + 0,999 999 999 998 181 018 296 32;
  • 13) 0,999 999 999 998 181 018 296 32 × 2 = 1 + 0,999 999 999 996 362 036 592 64;
  • 14) 0,999 999 999 996 362 036 592 64 × 2 = 1 + 0,999 999 999 992 724 073 185 28;
  • 15) 0,999 999 999 992 724 073 185 28 × 2 = 1 + 0,999 999 999 985 448 146 370 56;
  • 16) 0,999 999 999 985 448 146 370 56 × 2 = 1 + 0,999 999 999 970 896 292 741 12;
  • 17) 0,999 999 999 970 896 292 741 12 × 2 = 1 + 0,999 999 999 941 792 585 482 24;
  • 18) 0,999 999 999 941 792 585 482 24 × 2 = 1 + 0,999 999 999 883 585 170 964 48;
  • 19) 0,999 999 999 883 585 170 964 48 × 2 = 1 + 0,999 999 999 767 170 341 928 96;
  • 20) 0,999 999 999 767 170 341 928 96 × 2 = 1 + 0,999 999 999 534 340 683 857 92;
  • 21) 0,999 999 999 534 340 683 857 92 × 2 = 1 + 0,999 999 999 068 681 367 715 84;
  • 22) 0,999 999 999 068 681 367 715 84 × 2 = 1 + 0,999 999 998 137 362 735 431 68;
  • 23) 0,999 999 998 137 362 735 431 68 × 2 = 1 + 0,999 999 996 274 725 470 863 36;
  • 24) 0,999 999 996 274 725 470 863 36 × 2 = 1 + 0,999 999 992 549 450 941 726 72;
  • 25) 0,999 999 992 549 450 941 726 72 × 2 = 1 + 0,999 999 985 098 901 883 453 44;
  • 26) 0,999 999 985 098 901 883 453 44 × 2 = 1 + 0,999 999 970 197 803 766 906 88;
  • 27) 0,999 999 970 197 803 766 906 88 × 2 = 1 + 0,999 999 940 395 607 533 813 76;
  • 28) 0,999 999 940 395 607 533 813 76 × 2 = 1 + 0,999 999 880 791 215 067 627 52;
  • 29) 0,999 999 880 791 215 067 627 52 × 2 = 1 + 0,999 999 761 582 430 135 255 04;
  • 30) 0,999 999 761 582 430 135 255 04 × 2 = 1 + 0,999 999 523 164 860 270 510 08;
  • 31) 0,999 999 523 164 860 270 510 08 × 2 = 1 + 0,999 999 046 329 720 541 020 16;
  • 32) 0,999 999 046 329 720 541 020 16 × 2 = 1 + 0,999 998 092 659 441 082 040 32;
  • 33) 0,999 998 092 659 441 082 040 32 × 2 = 1 + 0,999 996 185 318 882 164 080 64;
  • 34) 0,999 996 185 318 882 164 080 64 × 2 = 1 + 0,999 992 370 637 764 328 161 28;
  • 35) 0,999 992 370 637 764 328 161 28 × 2 = 1 + 0,999 984 741 275 528 656 322 56;
  • 36) 0,999 984 741 275 528 656 322 56 × 2 = 1 + 0,999 969 482 551 057 312 645 12;
  • 37) 0,999 969 482 551 057 312 645 12 × 2 = 1 + 0,999 938 965 102 114 625 290 24;
  • 38) 0,999 938 965 102 114 625 290 24 × 2 = 1 + 0,999 877 930 204 229 250 580 48;
  • 39) 0,999 877 930 204 229 250 580 48 × 2 = 1 + 0,999 755 860 408 458 501 160 96;
  • 40) 0,999 755 860 408 458 501 160 96 × 2 = 1 + 0,999 511 720 816 917 002 321 92;
  • 41) 0,999 511 720 816 917 002 321 92 × 2 = 1 + 0,999 023 441 633 834 004 643 84;
  • 42) 0,999 023 441 633 834 004 643 84 × 2 = 1 + 0,998 046 883 267 668 009 287 68;
  • 43) 0,998 046 883 267 668 009 287 68 × 2 = 1 + 0,996 093 766 535 336 018 575 36;
  • 44) 0,996 093 766 535 336 018 575 36 × 2 = 1 + 0,992 187 533 070 672 037 150 72;
  • 45) 0,992 187 533 070 672 037 150 72 × 2 = 1 + 0,984 375 066 141 344 074 301 44;
  • 46) 0,984 375 066 141 344 074 301 44 × 2 = 1 + 0,968 750 132 282 688 148 602 88;
  • 47) 0,968 750 132 282 688 148 602 88 × 2 = 1 + 0,937 500 264 565 376 297 205 76;
  • 48) 0,937 500 264 565 376 297 205 76 × 2 = 1 + 0,875 000 529 130 752 594 411 52;
  • 49) 0,875 000 529 130 752 594 411 52 × 2 = 1 + 0,750 001 058 261 505 188 823 04;
  • 50) 0,750 001 058 261 505 188 823 04 × 2 = 1 + 0,500 002 116 523 010 377 646 08;
  • 51) 0,500 002 116 523 010 377 646 08 × 2 = 1 + 0,000 004 233 046 020 755 292 16;
  • 52) 0,000 004 233 046 020 755 292 16 × 2 = 0 + 0,000 008 466 092 041 510 584 32;
  • 53) 0,000 008 466 092 041 510 584 32 × 2 = 0 + 0,000 016 932 184 083 021 168 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,999 999 999 999 999 555 912 67(10) =

0,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

6,999 999 999 999 999 555 912 67(10) =

110,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


6,999 999 999 999 999 555 912 67(10) =

110,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 0(2) =

110,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 0(2) × 20 =

1,1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 100(2) × 22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 100 =

1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111


Numărul zecimal 6,999 999 999 999 999 555 912 67 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0001 - 1011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

Distribuie

» Scriere 6,999 999 999 999 999 555 913 23 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100