63,999 999 999 999 999 987 33 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 63,999 999 999 999 999 987 33(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
63,999 999 999 999 999 987 33(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 63.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

63(10) =

11 1111(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,999 999 999 999 999 987 33.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,999 999 999 999 999 987 33 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 974 66;
  • 2) 0,999 999 999 999 999 974 66 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 949 32;
  • 3) 0,999 999 999 999 999 949 32 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 898 64;
  • 4) 0,999 999 999 999 999 898 64 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 797 28;
  • 5) 0,999 999 999 999 999 797 28 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 594 56;
  • 6) 0,999 999 999 999 999 594 56 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 189 12;
  • 7) 0,999 999 999 999 999 189 12 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 998 378 24;
  • 8) 0,999 999 999 999 998 378 24 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 996 756 48;
  • 9) 0,999 999 999 999 996 756 48 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 993 512 96;
  • 10) 0,999 999 999 999 993 512 96 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 987 025 92;
  • 11) 0,999 999 999 999 987 025 92 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 974 051 84;
  • 12) 0,999 999 999 999 974 051 84 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 948 103 68;
  • 13) 0,999 999 999 999 948 103 68 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 896 207 36;
  • 14) 0,999 999 999 999 896 207 36 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 792 414 72;
  • 15) 0,999 999 999 999 792 414 72 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 584 829 44;
  • 16) 0,999 999 999 999 584 829 44 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 169 658 88;
  • 17) 0,999 999 999 999 169 658 88 × 2 = 1 + 0,999 999 999 998 339 317 76;
  • 18) 0,999 999 999 998 339 317 76 × 2 = 1 + 0,999 999 999 996 678 635 52;
  • 19) 0,999 999 999 996 678 635 52 × 2 = 1 + 0,999 999 999 993 357 271 04;
  • 20) 0,999 999 999 993 357 271 04 × 2 = 1 + 0,999 999 999 986 714 542 08;
  • 21) 0,999 999 999 986 714 542 08 × 2 = 1 + 0,999 999 999 973 429 084 16;
  • 22) 0,999 999 999 973 429 084 16 × 2 = 1 + 0,999 999 999 946 858 168 32;
  • 23) 0,999 999 999 946 858 168 32 × 2 = 1 + 0,999 999 999 893 716 336 64;
  • 24) 0,999 999 999 893 716 336 64 × 2 = 1 + 0,999 999 999 787 432 673 28;
  • 25) 0,999 999 999 787 432 673 28 × 2 = 1 + 0,999 999 999 574 865 346 56;
  • 26) 0,999 999 999 574 865 346 56 × 2 = 1 + 0,999 999 999 149 730 693 12;
  • 27) 0,999 999 999 149 730 693 12 × 2 = 1 + 0,999 999 998 299 461 386 24;
  • 28) 0,999 999 998 299 461 386 24 × 2 = 1 + 0,999 999 996 598 922 772 48;
  • 29) 0,999 999 996 598 922 772 48 × 2 = 1 + 0,999 999 993 197 845 544 96;
  • 30) 0,999 999 993 197 845 544 96 × 2 = 1 + 0,999 999 986 395 691 089 92;
  • 31) 0,999 999 986 395 691 089 92 × 2 = 1 + 0,999 999 972 791 382 179 84;
  • 32) 0,999 999 972 791 382 179 84 × 2 = 1 + 0,999 999 945 582 764 359 68;
  • 33) 0,999 999 945 582 764 359 68 × 2 = 1 + 0,999 999 891 165 528 719 36;
  • 34) 0,999 999 891 165 528 719 36 × 2 = 1 + 0,999 999 782 331 057 438 72;
  • 35) 0,999 999 782 331 057 438 72 × 2 = 1 + 0,999 999 564 662 114 877 44;
  • 36) 0,999 999 564 662 114 877 44 × 2 = 1 + 0,999 999 129 324 229 754 88;
  • 37) 0,999 999 129 324 229 754 88 × 2 = 1 + 0,999 998 258 648 459 509 76;
  • 38) 0,999 998 258 648 459 509 76 × 2 = 1 + 0,999 996 517 296 919 019 52;
  • 39) 0,999 996 517 296 919 019 52 × 2 = 1 + 0,999 993 034 593 838 039 04;
  • 40) 0,999 993 034 593 838 039 04 × 2 = 1 + 0,999 986 069 187 676 078 08;
  • 41) 0,999 986 069 187 676 078 08 × 2 = 1 + 0,999 972 138 375 352 156 16;
  • 42) 0,999 972 138 375 352 156 16 × 2 = 1 + 0,999 944 276 750 704 312 32;
  • 43) 0,999 944 276 750 704 312 32 × 2 = 1 + 0,999 888 553 501 408 624 64;
  • 44) 0,999 888 553 501 408 624 64 × 2 = 1 + 0,999 777 107 002 817 249 28;
  • 45) 0,999 777 107 002 817 249 28 × 2 = 1 + 0,999 554 214 005 634 498 56;
  • 46) 0,999 554 214 005 634 498 56 × 2 = 1 + 0,999 108 428 011 268 997 12;
  • 47) 0,999 108 428 011 268 997 12 × 2 = 1 + 0,998 216 856 022 537 994 24;
  • 48) 0,998 216 856 022 537 994 24 × 2 = 1 + 0,996 433 712 045 075 988 48;
  • 49) 0,996 433 712 045 075 988 48 × 2 = 1 + 0,992 867 424 090 151 976 96;
  • 50) 0,992 867 424 090 151 976 96 × 2 = 1 + 0,985 734 848 180 303 953 92;
  • 51) 0,985 734 848 180 303 953 92 × 2 = 1 + 0,971 469 696 360 607 907 84;
  • 52) 0,971 469 696 360 607 907 84 × 2 = 1 + 0,942 939 392 721 215 815 68;
  • 53) 0,942 939 392 721 215 815 68 × 2 = 1 + 0,885 878 785 442 431 631 36;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,999 999 999 999 999 987 33(10) =

0,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

63,999 999 999 999 999 987 33(10) =

11 1111,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 5 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


63,999 999 999 999 999 987 33(10) =

11 1111,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1(2) =

11 1111,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1(2) × 20 =

1,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11(2) × 25


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 5

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

5 + 2(11-1) - 1 =

(5 + 1 023)(10) =

1 028(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 028 : 2 = 514 + 0;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1028(10) =

100 0000 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11 1111 =

1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0100

Mantisă (52 biți) =
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111


Numărul zecimal 63,999 999 999 999 999 987 33 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0100 - 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

Distribuie

» Scriere 63,999 999 999 999 999 987 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100